Basic Maths Concepts: બીજગણિત (Algebra) ના પાયાના નિયમો અને પ્રેક્ટિસ વર્કશીટ | Std 7, 8, 9 GSEB

Online Math Classes: બીજગણિત (Algebra) સજાતીય અને વિજાતીય પદો (Like & Unlike Terms) | Free Worksheet

Play Basic Math Games Online: રમતા-રમતા બીજગણિત શીખો | Free Math Tool - Rajesh Patel Group Tuition

વિદ્યાર્થી મિત્રો, બીજગણિતમાં (Algebra) આગળ વધતા પહેલા સજાતીય પદો (Like Terms) અને વિજાતીય પદો (Unlike Terms) વચ્ચેનો તફાવત સમજવો ખૂબ જરૂરી છે. આ કોન્સેપ્ટને રમતા-રમતા પાકો કરવા માટે અમે આ Interactive Math Game તૈયાર કરી છે. નીચે આપેલા કાર્ડ્સ પર ક્લિક કરો અને સાચી જોડીઓ શોધો. જો વિજાતીય પદો હોય, તો તેનો યોગ્ય જવાબ પસંદ કરો. ચાલો રમીએ અને ગણિત શીખીએ! 

બીજગણિતની સરળ સમજૂતી: સજાતીય અને વિજાતીય પદો - રાજેશ પટેલ ગ્રુપ ટ્યુશન

📚 બીજગણિતના પાયાના ખ્યાલો: સજાતીય અને વિજાતીય પદો 

વિદ્યાર્થી મિત્રો, ધોરણ 7, 8 અને 9 માં બીજગણિત (Algebra) શીખવાની શરૂઆત કરતા પહેલા તેના પાયાના નિયમો સમજવા ખૂબ જ જરૂરી છે.

વિદ્યાર્થીઓ માટે બીજગણિતના પાયાના ખ્યાલો (સજાતીય-વિજાતીય પદો) સમજવા અને પ્રેક્ટિસ કરવા માટેની વર્કશીટ. ગણિત તો રાજુભાઈનું જ...

ગણિતમાં આપણો એક જ મંત્ર હોવો જોઈએ: "No Negative" (હંમેશા હકારાત્મક અભિગમ રાખો!).

આજે આપણે "સજાતીય પદો" અને "વિજાતીય પદો" વચ્ચેનો તફાવત ઉદાહરણ સાથે સમજીશું.

❖ સજાતીય પદ (Like Terms)

જે પદોમાં નીચેની બે શરતો સંતોષાતી હોય તેને સજાતીય પદો કહેવાય છે:

ચલ સમાન: પદોમાં રહેલા ચલ (Variable) એકસરખા હોવા જોઈએ.

ચલનો ઘાતાંક સમાન: તે ચલની ઘાત (Exponent) પણ સમાન હોવી જોઈએ.

❖ વિજાતીય પદ (Unlike Terms)

જો પદોમાં નીચે પૈકી કોઈ એક પણ બાબત અલગ હોય, તો તેને વિજાતીય પદો કહેવાય છે:

ચલ અસમાન: પદોમાં રહેલા ચલ અલગ-અલગ હોય.

અથવા ઘાતાંક અસમાન: ચલ સમાન હોય, પરંતુ તેમની ઘાત અલગ-અલગ હોય.

🎯 ઉદાહરણોથી સમજીએ (Examples):

❖ ૧. સજાતીય પદો (Like Terms) એટલે શું?

➢ જે પદોમાં ચલ (Variables) સમાન હોય અને તે ચલના ઘાતાંક (Exponents/Powers) પણ સમાન હોય, તેવા પદોને સજાતીય પદો કહેવાય છે.

➢ સજાતીય પદોમાં આગળ રહેલી સંખ્યા એટલે કે સહગુણક (Coefficient) અલગ હોઈ શકે છે.

➢ સરવાળા અને બાદબાકી માત્ર સજાતીય પદો વચ્ચે જ થઈ શકે છે.

✅ સજાતીય પદોના ઉદાહરણો (જેમાં ચલ અને ઘાત સમાન છે):

🎯 ઉદાહરણો અને વિગતવાર સમજૂતી:

📌 1. 3xy અને -2xy (અહીં બંનેમાં ચલ xy છે, સહગુણક ગમે તે હોય પદ સજાતીય જ રહે)

📌 2. 3x² અને -2x² (અહીં બંનેમાં ચલ x ની 2 ઘાત સમાન છે)

📌 3. 3x²y અને -2yx² (અહીં માત્ર ચલનો ક્રમ આગળ-પાછળ છે, પરંતુ બંને પદો સમાન જ ગણાય છે)

📌 4. 3x અને 5x (સજાતીય)

➢ સમજૂતી: બંને પદોમાં ચલ 'x' સમાન છે અને બંનેમાં x ની ઘાત 1 છે. સહગુણક (3 અને 5) અલગ હોવાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.

📌 5. -2a² અને 7a² (સજાતીય)

➢ સમજૂતી: બંને પદોમાં ચલ 'a' છે અને બંનેની ઘાત 2 છે (a²). નિશાનીઓ અલગ હોવા છતાં આ સજાતીય પદો છે.

📌 6. 4xy અને -xy (સજાતીય)

➢ સમજૂતી: બંને પદોમાં ચલ 'x' અને 'y' હાજર છે અને બંનેની ઘાત સમાન (1) છે. બીજા પદમાં સહગુણક -1 છે.

📌 7. 8ab²c અને -3cb²a (સજાતીય)

➢ સમજૂતી: બંનેમાં ચલ a, b અને c છે. બંનેમાં b ની ઘાત 2 છે, અને a તથા c ની ઘાત 1 છે. ચલનો ક્રમ બદલાયો છે (ગુણાકારમાં ક્રમનો નિયમ લાગુ પડે છે), પરંતુ પદો સજાતીય જ રહે છે.

❖ ૨. વિજાતીય પદો (Unlike Terms) એટલે શું?

➢ જે પદોમાં કાં તો ચલ અલગ હોય, અથવા જો ચલ સમાન હોય પરંતુ તેમના ઘાતાંક અલગ હોય, તેવા પદોને વિજાતીય પદો કહેવાય છે.

➢ વિજાતીય પદોના સીધા સરવાળા કે બાદબાકી થઈ શકતા નથી.

❌ વિજાતીય પદોના ઉદાહરણો (જેમાં ચલ અથવા ઘાત અલગ છે):

📌 1. 3x²y અને -2xy² (પહેલા પદમાં x નો વર્ગ છે, જ્યારે બીજા પદમાં y નો વર્ગ છે. ઘાત અલગ હોવાથી આ વિજાતીય પદ છે)

📌 2. 3x²y અને 3a²b² (અહીં બંને પદોના ચલ xy અને ab તદ્દન અલગ છે).

📌 3. 5x અને 5y (વિજાતીય)

➢ સમજૂતી: અહીં સહગુણક (5) સમાન છે, પરંતુ ચલ અલગ-અલગ છે (x અને y). તેથી આ વિજાતીય પદો છે.

📌 4. 2x² અને 2x³ (વિજાતીય)

➢ સમજૂતી: બંનેમાં ચલ 'x' સમાન છે, પરંતુ તેમના ઘાતાંક અલગ છે (એકમાં 2 અને બીજામાં 3). માટે તે વિજાતીય પદો કહેવાય.

📌 5. 6x²y અને 9xy² (વિજાતીય)

➢ સમજૂતી: બંને પદોમાં x અને y બંને ચલ છે. પરંતુ, પહેલા પદમાં x નો વર્ગ (x²) છે, જ્યારે બીજા પદમાં y નો વર્ગ (y²) છે. ઘાતાંકની વહેંચણી અલગ હોવાથી આ વિજાતીય પદો છે.

⚠️ સૌથી મહત્વપૂર્ણ નોંધ (Golden Rule)

સરવાળા અને બાદબાકી માત્ર સજાતીય પદો વચ્ચે જ થઈ શકે છે. વિજાતીય પદોના ક્યારેય સીધા સરવાળા કે બાદબાકી થતા નથી.

 

🔄 ક્રમનો નિયમ (Commutative Property)

ગણિતમાં સરવાળા અને ગુણાકાર હંમેશા ક્રમના નિયમને અનુસરે છે. તમે પદોનો ક્રમ બદલો તો પણ જવાબમાં કોઈ ફરક પડતો નથી.

સરવાળા માટે: 3+2 = 2+3 = 5

ગુણાકાર માટે: 3 × 2 = 2 × 3 = 6

(નોંધ: આ જ નિયમ બીજગણિતના પદોના ગુણાકારમાં પણ લાગુ પડે છે, એટલે જ xy લખો કે yx લખો, બંને સરખા જ ગણાય છે.)

📝 પ્રેક્ટિસ માટે 10 સવાલો:

(સૂચના: નીચે આપેલ પદોની જોડીઓ સજાતીય છે કે વિજાતીય તે ઓળખો)

૧) 7p અને 12p

૨) 4m² અને -3m²

૩) 5x અને 8y

૪) 2xy અને 9yx

૫) 10a²b અને 10ab²

૬) x³ અને 4x³

૭) 6pqr અને -2rpq

૮) 3x² અને 3x

૯) -5 અને 14

૧૦) 7x²yz³ અને 2z³x²y

💡 પ્રેક્ટિસ સવાલોના જવાબો અને સમજૂતી

✅ ૧. સજાતીય: બંને પદોમાં ચલ 'p' અને તેની ઘાત સમાન છે.

✅ ૨. સજાતીય: બંને પદોમાં ચલ અને તેની ઘાત 'm²' સમાન છે. સહગુણક અલગ છે.

❌ ૩. વિજાતીય: બંને પદોમાં ચલ તદ્દન અલગ છે (x અને y).

✅ ૪. સજાતીય: ગુણાકારના નિયમ મુજબ xy અને yx એકસમાન જ ગણાય. ચલ અને ઘાત સમાન છે.

❌ ૫. વિજાતીય: ચલ સમાન છે પરંતુ ઘાતાંક અલગ છે. પહેલામાં a ની 2 ઘાત છે, જ્યારે બીજામાં b ની 2 ઘાત છે.

✅ ૬. સજાતીય: બંનેમાં ચલ 'x³' સમાન છે. (પહેલા પદનો સહગુણક 1 ગણાય).

✅ ૭. સજાતીય: બંને પદોમાં p, q અને r હાજર છે અને દરેકની ઘાત 1 છે. માત્ર ક્રમ આગળ-પાછળ છે.

❌ ૮. વિજાતીય: ચલ સમાન છે (x), પરંતુ ઘાતાંક અલગ છે (2 અને 1).

✅ ૯. સજાતીય: બંને અચળ પદો (ચલ વગરના પદો) છે. જેમાં કોઈ ચલ નથી હોતો તેવા તમામ અચળ પદો એકબીજાના સજાતીય ગણાય છે.

✅ ૧૦. સજાતીય: બંનેમાં ચલ અને તેમની ઘાત બિલકુલ સમાન છે (x ની 2, y ની 1, અને z ની 3). ચલને લખવાનો ક્રમ બદલાવવાથી પદ વિજાતીય બનતું નથી.

 બીજગણિત: પદોના સરવાળાના ૧૦ ઉદાહરણો (સમજૂતી સાથે)

ચાલો, સજાતીય અને વિજાતીય પદોના સરવાળા કેવી રીતે થાય છે, તે ઉદાહરણો સાથે સમજીએ. ખાસ યાદ રાખો કે સરવાળો માત્ર "સજાતીય પદો" નો જ થશે.

૧) 4x અને 3x નો સરવાળો

➢ ગણતરી: 4x + 3x = 7x

➢ સમજૂતી: બંને સજાતીય પદો છે (ચલ x સમાન છે), તેથી તેમના સહગુણકો (4 અને 3) નો સીધો સરવાળો 7 થાય અને ચલ એમ જ રહે.

૨) 8y અને -3y નો સરવાળો

➢ ગણતરી: 8y + (-3y) = 8y - 3y = 5y

➢ સમજૂતી: બંને સજાતીય પદો છે. વત્તા-ઓછા ઓછાના નિયમ (+ - = -) મુજબ 8 માંથી 3 જાય તો 5 વધે. નિશાની મોટી સંખ્યા (8) ની રહે.

૩) 5a અને 2b નો સરવાળો

➢ ગણતરી: 5a + 2b

➢ સમજૂતી: આ વિજાતીય પદો છે (એકમાં ચલ a છે અને બીજામાં b છે). તેથી તેમનો સીધો સરવાળો ન થાય, તેને સમીકરણ સ્વરૂપે જ લખવું પડે.

૪) 6m² અને 4m² નો સરવાળો

➢ ગણતરી: 6m² + 4m² = 10m²

➢ સમજૂતી: બંનેમાં ચલ m² સમાન છે (સજાતીય પદો). તેથી 6 + 4 = 10 થાય. સરવાળામાં ઘાતાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

૫) 12xy અને 5xy નો સરવાળો

➢ ગણતરી: 12xy + 5xy = 17xy

➢ સમજૂતી: બંને સજાતીય પદો છે, તેથી 12 અને 5 નો સરવાળો 17 થાય.

૬) 7pq અને 3qp નો સરવાળો

➢ ગણતરી: 7pq + 3qp = 10pq

➢ સમજૂતી: pq અને qp બંને સરખા જ ગણાય (ગુણાકારમાં ક્રમનો નિયમ). બંને સજાતીય પદો હોવાથી 7 + 3 = 10 થાય.

૭) 4x³ અને 2x² નો સરવાળો

➢ ગણતરી: 4x³ + 2x²

➢ સમજૂતી: અહીં ચલ x સમાન છે, પરંતુ તેમની ઘાત (3 અને 2) અલગ-અલગ છે. એટલે આ વિજાતીય પદો ગણાય, માટે તેમનો સીધો સરવાળો ન થાય.

૮) -5a²b અને -4a²b નો સરવાળો

➢ ગણતરી: -5a²b + (-4a²b) = -5a²b - 4a²b = -9a²b

➢ સમજૂતી: સજાતીય પદો છે. બંને પદો ઋણ (-) હોવાથી, ઓછા-ઓછા વત્તાના નિયમ મુજબ તેમનો સરવાળો થાય (5+4=9), પરંતુ જવાબમાં નિશાની ઋણ (-) જ રહે.

૯) 10 અને 3x નો સરવાળો

➢ ગણતરી: 10 + 3x

➢ સમજૂતી: 10 એ અચળ પદ છે અને 3x એ ચલ વાળું પદ છે (વિજાતીય પદો). આથી તેમનો સરવાળો ન થઈ શકે, તેમને સાથે જ લખવા પડે.

૧૦) 2x, 5x અને 3y નો સરવાળો (ત્રણ પદો)

➢ ગણતરી: 2x + 5x + 3y = 7x + 3y

➢ સમજૂતી: અહીં 2x અને 5x સજાતીય છે એટલે તેમનો સરવાળો 7x થયો. જ્યારે 3y વિજાતીય હોવાથી તેને એમનેએમ જ બાજુમાં મૂકવું પડે.

બીજગણિત: પદોની બાદબાકીના ૧૦ ઉદાહરણો (સમજૂતી સાથે)

સરવાળાની જેમ જ બાદબાકીનો પણ મુખ્ય નિયમ એ જ છે કે: બાદબાકી માત્ર અને માત્ર "સજાતીય પદો" વચ્ચે જ થાય છે. ચાલો, નિશાનીઓના નિયમો સાથે આ ઉદાહરણો સમજીએ:

૧) 8x માંથી 3x ની બાદબાકી

➢ ગણતરી: 8x - 3x = 5x

➢ સમજૂતી: બંને સજાતીય પદો છે. 8 માંથી 3 જાય તો 5 વધે અને ચલ x એમનેએમ જ રહે.

૨) 5y માંથી 9y ની બાદબાકી

➢ ગણતરી: 5y - 9y = -4y

➢ સમજૂતી: 5 માંથી 9 જાય તો 4 વધે, પણ 9 મોટા હોવાથી તેની આગળની નિશાની (ઋણ / માઇનસ) જવાબમાં આવે.

૩) 7a માંથી 2b ની બાદબાકી

➢ ગણતરી: 7a - 2b

➢ સમજૂતી: આ વિજાતીય પદો છે (ચલ અલગ છે). તેથી તેમની સીધી બાદબાકી ન થાય, તેમને સમીકરણ સ્વરૂપે જ લખવા પડે.

૪) 10m² માંથી 4m² ની બાદબાકી

➢ ગણતરી: 10m² - 4m² = 6m²

➢ સમજૂતી: બંનેમાં ચલ m² સમાન છે (સજાતીય પદો). તેથી 10 - 4 = 6 થાય. બાદબાકીમાં ઘાતાંકમાં (વર્ગમાં) કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

૫) 6xy માંથી -2xy ની બાદબાકી (ખાસ નિયમ)

➢ ગણતરી: 6xy - (-2xy) = 6xy + 2xy = 8xy

➢ સમજૂતી: જ્યારે આપણે ઋણ પદની બાદબાકી કરીએ, ત્યારે કૌંસ ખુલતા ઓછા-ઓછા વત્તા (- - = +) થઈ જાય છે. તેથી 6 અને 2 નો સરવાળો 8xy થયો.

૬) -7p માંથી 3p ની બાદબાકી

➢ ગણતરી: -7p - 3p = -10p

➢ સમજૂતી: અહીં બંને પદો માઇનસ છે. ઓછા-ઓછા વત્તા થાય, એટલે કે 7 અને 3 નો સરવાળો 10 થાય, પણ નિશાની ઋણ (-) ની જ રહે.

૭) 5x³ માંથી 5x² ની બાદબાકી

➢ ગણતરી: 5x³ - 5x²

➢ સમજૂતી: અહીં ચલ x સમાન છે, પરંતુ તેમની ઘાત (3 અને 2) અલગ-અલગ છે. એટલે આ વિજાતીય પદો ગણાય, માટે તેમની સીધી બાદબાકી ન થાય.

૮) 15a²b માંથી 6a²b ની બાદબાકી

➢ ગણતરી: 15a²b - 6a²b = 9a²b

➢ સમજૂતી: આ સજાતીય પદો છે, તેથી માત્ર સહગુણકોની બાદબાકી (15 - 6 = 9) થાય.

૯) 12 માંથી 4x ની બાદબાકી

➢ ગણતરી: 12 - 4x

➢ સમજૂતી: 12 એ અચળ પદ છે અને 4x એ ચલ વાળું પદ છે (વિજાતીય પદો). આથી તેમની બાદબાકી ન થઈ શકે, તેમને સાથે જ લખવા પડે.

૧૦) 9x, 4x અને 2y ની મિશ્ર બાદબાકી (ત્રણ પદો)

➢ ગણતરી: 9x - 4x - 2y = 5x - 2y

➢ સમજૂતી: અહીં પહેલા સજાતીય પદો 9x માંથી 4x ની બાદબાકી કરી એટલે 5x મળ્યા. 2y વિજાતીય હોવાથી તેને એમનેએમ જ બાજુમાં માઇનસની નિશાની સાથે મૂકવું પડે.

અહીં બીજગણિતમાં સરવાળા અને બાદબાકીના ૧૦ મિશ્ર ઉદાહરણો વિગતવાર સમજૂતી સાથે આપેલા છે. આ ઉદાહરણોથી વિદ્યાર્થીઓને બંને ક્રિયાઓ વચ્ચેનો ભેદ અને નિશાનીઓના નિયમો એકદમ સ્પષ્ટ થઈ જશે.

બીજગણિત: પદોના સરવાળા અને બાદબાકીના ૧૦ મિશ્ર ઉદાહરણો

અહીં સરવાળા અને બાદબાકીના મિશ્ર દાખલા આપેલા છે. હંમેશા યાદ રાખો કે ગાણિતિક ક્રિયા કરતા પહેલા પદો સજાતીય છે કે વિજાતીય તે ચકાસવું સૌથી અગત્યનું છે.

૧) 5x અને 8x નો સરવાળો

➢ ગણતરી: 5x + 8x = 13x

➢ સમજૂતી: બંને પદો સજાતીય છે. તેથી 5 અને 8 નો સીધો સરવાળો 13 થાય અને ચલ x એમ જ રહે.

૨) 12y માંથી 7y ની બાદબાકી

➢ ગણતરી: 12y - 7y = 5y

➢ સમજૂતી: બંને સજાતીય પદો છે. 12 માંથી 7 જાય તો 5 વધે.

૩) -4m અને -6m નો સરવાળો (બંને ઋણ પદો)

➢ ગણતરી: -4m + (-6m) = -4m - 6m = -10m

➢ સમજૂતી: સજાતીય પદો છે. ઓછા-ઓછા વત્તાના નિયમ મુજબ બંનેનો સરવાળો (4+6=10) થાય, પરંતુ નિશાની માઇનસ (-) ની જ રહે.

૪) 9a² માંથી -3a² ની બાદબાકી (ખાસ નિયમ)

➢ ગણતરી: 9a² - (-3a²) = 9a² + 3a² = 12a²

➢ સમજૂતી: જ્યારે ઋણ પદની બાદબાકી કરવાની હોય, ત્યારે કૌંસ ખુલતા માઇનસ-માઇનસ પ્લસ (- - = +) થઈ જાય. તેથી 9 અને 3 નો સરવાળો 12a² થયો.

૫) 6p અને 4q નો સરવાળો

➢ ગણતરી: 6p + 4q

➢ સમજૂતી: આ વિજાતીય પદો છે (ચલ અલગ-અલગ છે). તેથી તેમનો સીધો સરવાળો ન થાય, જવાબ આ જ સમીકરણ સ્વરૂપે રહે.

૬) 15xy માંથી 8xy ની બાદબાકી

➢ ગણતરી: 15xy - 8xy = 7xy

➢ સમજૂતી: સજાતીય પદો હોવાથી સીધી બાદબાકી થાય. 15 માંથી 8 જાય તો 7 વધે.

૭) 10x²y અને 5xy² નો સરવાળો

➢ ગણતરી: 10x²y + 5xy²

➢ સમજૂતી: અહીં બંને પદોમાં ચલ x અને y છે, પરંતુ પહેલામાં x નો વર્ગ છે અને બીજામાં y નો વર્ગ છે. ઘાતાંક અલગ હોવાથી આ વિજાતીય પદો છે અને સરવાળો શક્ય નથી.

૮) -8b માંથી 2b ની બાદબાકી

➢ ગણતરી: -8b - 2b = -10b

➢ સમજૂતી: બંને પદોની આગળ માઇનસની નિશાની છે, તેથી નિયમ મુજબ સરવાળો થશે (8+2=10) પણ જવાબમાં નિશાની ઋણ (-) રહેશે.

૯) 7m માંથી 10 ની બાદબાકી

➢ ગણતરી: 7m - 10

➢ સમજૂતી: એક પદ ચલ વાળું છે અને બીજું અચળ પદ (સંખ્યા) છે. બંને વિજાતીય હોવાથી બાદબાકી ન થાય.

૧૦) 4x, 3y અને -2x નું સાદુંરૂપ (સરવાળો-બાદબાકી)

➢ ગણતરી: 4x - 2x + 3y = 2x + 3y

➢ સમજૂતી: આવા દાખલામાં પહેલા સજાતીય પદો (4x અને -2x) ને ભેગા કરીને તેમની બાદબાકી કરો (4x - 2x = 2x). જ્યારે 3y વિજાતીય હોવાથી તેને પાછળ પ્લસની નિશાની સાથે એમનેએમ મૂકી દો.

➢ બીજગણિત પ્રેક્ટિસ 1: વિગતવાર 

નિયમો ફરી એકવાર:

સરવાળા/બાદબાકી: માત્ર સજાતીય પદો (જેના ચલ અને ઘાત સરખા હોય) વચ્ચે જ થાય.

ગુણાકાર: સહગુણકોનો ગુણાકાર અને ચલની ઘાતોનો સરવાળો થાય.

ભાગાકાર: સહગુણકોનો ભાગાકાર અને ચલની ઘાતોની બાદબાકી થાય.

૧) 7p અને 12p (સજાતીય પદો)

• સરવાળો: 7p + 12p = 19p

• બાદબાકી: 7p - 12p = -5p (7 માંથી 12 જાય તો 5 વધે, મોટી સંખ્યાની નિશાની - આવે)

• ગુણાકાર: 7 × 12 = 84p² (p ની 1+1 ઘાત)

• ભાગાકાર: 7p ÷ 12p = 7/12 (અથવા 0.58, p ઉડી ગયા)

૨) 4m² અને -3m² (સજાતીય પદો)

• સરવાળો: 4m² + (-3m²) = 4m² - 3m² = 1m² (અથવા m²)

• બાદબાકી: 4m² - (-3m²) = 4m² + 3m² = 7m² (ઓછા-ઓછા વત્તા)

• ગુણાકાર: 4 × (-3) = -12m⁴ (ઘાત 2+2=4)

• ભાગાકાર: 4m² ÷ (-3m²) = -4/3 (m² ઉડી ગયા)

૩) 5x અને 8y (વિજાતીય પદો)

• સરવાળો: 5x + 8y (ચલ અલગ હોવાથી સરવાળો ન થાય)

• બાદબાકી: 5x - 8y

• ગુણાકાર: 5 × 8 = 40xy

• ભાગાકાર: 5x/8y (અથવા 5x ÷ 8y)

૪) 2xy અને 9yx (સજાતીય પદો)

• નોંધ: xy અને yx બંને એક જ ગણાય (ગુણાકારમાં ક્રમનો નિયમ).

• સરવાળો: 2xy + 9xy = 11xy

• બાદબાકી: 2xy - 9xy = -7xy

• ગુણાકાર: 2 × 9 = 18x²y²

• ભાગાકાર: 2xy ÷ 9xy = 2/9

૫) 10a²b અને 10ab² (વિજાતીય પદો)

• નોંધ: અહીં પહેલા પદમાં a નો વર્ગ છે, જ્યારે બીજામાં b નો વર્ગ છે. ઘાત અલગ હોવાથી આ વિજાતીય પદો છે.

• સરવાળો: 10a²b + 10ab²

• બાદબાકી: 10a²b - 10ab²

• ગુણાકાર: 10 × 10 = 100a³b³ (a ની 2+1 અને b ની 1+2 ઘાત)

• ભાગાકાર: 10a²b ÷ 10ab² = a/b (એક a અંશમાં વધશે અને એક b છેદમાં)

૬) x³ અને 4x³ (સજાતીય પદો)

• સરવાળો: 1x³ + 4x³ = 5x³

• બાદબાકી: 1x³ - 4x³ = -3x³

• ગુણાકાર: 1 × 4 = 4x⁶ (ઘાત 3+3=6)

• ભાગાકાર: x³ ÷ 4x³ = 1/4 (અથવા 0.25)

૭) 6pqr અને -2rpq (સજાતીય પદો)

• નોંધ: pqr અને rpq માં ચલ સરખા છે, માત્ર ક્રમ અલગ છે. તેથી આ સજાતીય છે.

• સરવાળો: 6pqr + (-2pqr) = 4pqr

• બાદબાકી: 6pqr - (-2pqr) = 6pqr + 2pqr = 8pqr

• ગુણાકાર: 6 × (-2) = -12p²q²r²

• ભાગાકાર: 6pqr ÷ (-2pqr) = -3 (બધા ચલ ઉડી ગયા)

૮) 3x² અને 3x (વિજાતીય પદો)

• સરવાળો: 3x² + 3x (ઘાત અલગ હોવાથી સરવાળો ન થાય)

• બાદબાકી: 3x² - 3x

• ગુણાકાર: 3 × 3 = 9x³ (ઘાત 2+1=3)

• ભાગાકાર: 3x² ÷ 3x = x (સહગુણક 3 ઉડી ગયા, ઘાત 2-1=1 વધી)

૯) -5 અને 14 (સજાતીય પદો - અચળ સંખ્યાઓ)

• સરવાળો: -5 + 14 = 9

• બાદબાકી: -5 - 14 = -19

• ગુણાકાર: -5 × 14 = -70

• ભાગાકાર: -5/14

૧૦) 7x²yz³ અને 2z³x²y (સજાતીય પદો)

• નોંધ: બંને પદોમાં x², y અને z³ છે. માત્ર ક્રમ બદલાયેલ છે, તેથી આ સજાતીય છે.

• સરવાળો: 7 + 2 = 9x²yz³

• બાદબાકી: 7 - 2 = 5x²yz³

• ગુણાકાર: 7 × 2 = 14x⁴y²z⁶ (ઘાતોનો સરવાળો થયો)

• ભાગાકાર: 7x²yz³ ÷ 2z³x²y = 7/2 (અથવા 3.5)

❖ બીજગણિત પ્રેક્ટિસ ટેસ્ટ: સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર

➢ સૂચના: નીચે આપેલી ૧૦ પદોની જોડીઓ માટે (૧) સરવાળો, (૨) બાદબાકી, (૩) ગુણાકાર અને (૪) ભાગાકાર કરો.

(ખાસ નોંધ: જો પદો વિજાતીય હોય અને તેમનો સીધો સરવાળો કે બાદબાકી શક્ય ન હોય, તો તેમને ચિન્હ સાથે સમીકરણ સ્વરૂપે જ લખવા).

૧) 10m અને 2m

૨) 4x² અને 3y

૩) 9y² અને -3y²

૪) 6ab અને 2a

૫) -12p²q અને -4p²q

૬) 8x³ અને 4x²

૭) 15xyz અને 5xyz

૮) 7m²n અને 2mn²

૯) 20a²b અને 4a²b

૧૦) 10 અને 5x

🚀 ઉપયોગી વધુ પોસ્ટ વાંચવા માટે અહીં ક્લિક કરો, મિત્રોને મોકલો.

🎯 નિષ્કર્ષ (Conclusion)

વિદ્યાર્થી મિત્રો, બીજગણિતમાં (Algebra) આગળના ધોરણોમાં સફળ થવા માટે સજાતીય અને વિજાતીય પદોનો આ પાયાનો ખ્યાલ મગજમાં એકદમ સ્પષ્ટ હોવો ખૂબ જ જરૂરી છે.

હંમેશા એક જ નિયમ યાદ રાખો: "સરવાળા અને બાદબાકી માટે પદોનું સજાતીય હોવું ફરજિયાત છે, જ્યારે ગુણાકાર અને ભાગાકારમાં આ નિયમ લાગુ પડતો નથી."

અમે ઉપર જે પ્રેક્ટિસ વર્કશીટ અને 'ઑલ-ઇન-વન ફ્લિપ કાર્ડ ગેમ' આપી છે, તેનો વારંવાર ઉપયોગ કરો. જ્યાં સુધી તમારા બધા જ જવાબો એકદમ સાચા ન પડે ત્યાં સુધી ગેમ રમતા રહો. આ રમત-ગમત સાથે કરેલી પ્રેક્ટિસથી તમારો ગણિતનો પાયો એકદમ પાકો થઈ જશે અને પરીક્ષામાં ક્યારેય નિશાનીઓની ભૂલ નહીં થાય.

ગણિત એ ગોખવાનો નહીં, પણ સમજીને પ્રેક્ટિસ કરવાનો વિષય છે. જો તમને આ માહિતી અને ગેમ ઉપયોગી લાગી હોય, તો તમારા ક્લાસના અન્ય મિત્રો સાથે આ લિંક ચોક્કસ શેર કરજો.

શીખતા રહો, આગળ વધતા રહો!

ગણિત તો રાજુભાઈનું જ...

રાજેશ પટેલ ગ્રુપ ટ્યુશન પરિવાર

❓ વારંવાર પૂછાતા પ્રશ્નો (FAQs: Basic Algebra Concepts)

પ્રશ્ન 1: સજાતીય પદો (Like Terms) અને વિજાતીય પદો (Unlike Terms) વચ્ચે મુખ્ય તફાવત શું છે?

જવાબ: સજાતીય પદોમાં ચલ (Variables) અને તે ચલની ઘાત (Exponents) બિલકુલ એકસરખા હોય છે, ભલે તેમના સહગુણક (આગળની સંખ્યા) અલગ હોય. જ્યારે વિજાતીય પદોમાં કાં તો ચલ અલગ-અલગ હોય છે અથવા ચલ સમાન હોય તો પણ તેમની ઘાત અલગ હોય છે.

પ્રશ્ન 2: શું આપણે વિજાતીય પદોના સરવાળા કે બાદબાકી કરી શકીએ?

જવાબ: ના, બીજગણિતના પાયાના નિયમ મુજબ સરવાળા અને બાદબાકી માત્ર સજાતીય પદો વચ્ચે જ થઈ શકે છે. વિજાતીય પદોનો સીધો સરવાળો કે બાદબાકી શક્ય નથી, તેમને સમીકરણમાં તેમની નિશાની (+ કે -) સાથે એમનેએમ જ લખવા પડે છે.

પ્રશ્ન 3: શું વિજાતીય પદોના ગુણાકાર અને ભાગાકાર થઈ શકે ખરા?

જવાબ: હા, ચોક્કસ! ગુણાકાર અને ભાગાકારની ક્રિયાઓ સજાતીય અને વિજાતીય બંને પ્રકારના પદો વચ્ચે થઈ શકે છે. આ માટે સહગુણકોનો સામાન્ય ગુણાકાર કે ભાગાકાર થાય છે, અને ચલ માટે ઘાતાંકના નિયમો (ગુણાકારમાં ઘાતનો સરવાળો, ભાગાકારમાં બાદબાકી) લાગુ પડે છે.

પ્રશ્ન 4: 5xy અને 8yx સજાતીય પદો ગણાય કે વિજાતીય?

જવાબ: આ બંને સજાતીય પદો જ ગણાય છે. ગણિતમાં ગુણાકાર માટે ક્રમનો નિયમ (Commutative Property) લાગુ પડે છે, એટલે કે x અને y નો ગુણાકાર કરો કે y અને x નો, બંને સમાન જ કહેવાય. તેથી xy અને yx બંને એક જ છે.

પ્રશ્ન 5: TET, TAT કે GPSC જેવી સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષાઓ માટે આ બેઝિક ગણિત (Math Foundation) કેટલું મહત્વનું છે?

જવાબ: ખૂબ જ મહત્વનું! કોઈપણ સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષામાં ગણિત વિભાગમાં સમીકરણો ઉકેલવાના કે ઉંમર આધારિત કોયડાઓ પૂછાતા હોય છે. જો બીજગણિતના આ પાયાના ખ્યાલો (નિશાનીઓના નિયમો, સજાતીય-વિજાતીય પદો) સ્પષ્ટ હશે, તો જ તમે પરીક્ષામાં ઝડપથી અને સચોટ ગણતરી કરી શકશો.

⚠️ અસ્વીકરણ (Disclaimer)

માત્ર શૈક્ષણિક હેતુ માટે: આ બ્લોગ પોસ્ટમાં આપેલી તમામ માહિતી, ઉદાહરણો, પ્રેક્ટિસ વર્કશીટ અને ડિજિટલ ગેમ્સ માત્ર વિદ્યાર્થીઓના પાયાના શિક્ષણ અને માર્ગદર્શન હેતુથી જ તૈયાર કરવામાં આવ્યા છે.

માહિતીની સચોટતા: અમે ગણિતના આ નિયમો અને જવાબોને સંપૂર્ણપણે સચોટ અને ભૂલરહિત રાખવાનો પૂરો પ્રયત્ન કર્યો છે. તેમ છતાં, ટાઈપિંગ કે અન્ય કોઈ તકનીકી ક્ષતિ રહી ગઈ હોય, તો તેનાથી થતા કોઈ શૈક્ષણિક નુકસાન માટે બ્લોગ ઓનર કે સંસ્થા જવાબદાર રહેશે નહીં.

અધિકૃત સ્ત્રોતનો આગ્રહ: સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષાઓ (જેમ કે TET, TAT, GPSC) અથવા શાળાની મુખ્ય પરીક્ષાઓની તૈયારી કરતા વિદ્યાર્થીઓએ અંતિમ નિર્ણયો અને જવાબો માટે હંમેશા સરકાર માન્ય અધિકૃત પાઠ્યપુસ્તકો (GCERT/NCERT) અને સત્તાવાર સિલેબસને જ પ્રાધાન્ય આપવું.

કોપીરાઇટ અને ઉપયોગ: આ પોસ્ટમાં રહેલું તમામ મૂળ કન્ટેન્ટ (લખાણ અને ઈમેજીસ) 'રાજેશ પટેલ ગ્રુપ ટ્યુશન' ની માલિકીનું છે. વિદ્યાર્થીઓ અને શિક્ષકો પોતાના અંગત અભ્યાસ કે પ્રેક્ટિસ માટે આનો મુક્તપણે ઉપયોગ કરી શકે છે, પરંતુ કોઈપણ વ્યાવસાયિક (Commercial) હેતુ માટે અમારી પરવાનગી વગર આ લખાણ કે ઈમેજનો ઉપયોગ કરવો નહીં.

➢ બીજગણિત પ્રેક્ટિસ ટેસ્ટ: વિગતવાર સોલ્યુશન

યાદ રાખો:

1. સરવાળા-બાદબાકી: માત્ર સજાતીય પદો વચ્ચે જ થાય.

2. ગુણાકાર: સહગુણકોનો ગુણાકાર અને ઘાતનો સરવાળો થાય.

3. ભાગાકાર: સહગુણકોનો ભાગાકાર અને ઘાતની બાદબાકી થાય.

૧) 10m અને 2m (સજાતીય પદો)

• સરવાળો: 10m + 2m = 12m

• બાદબાકી: 10m - 2m = 8m

• ગુણાકાર: 10 × 2 = 20m² (m ની 1+1 ઘાત)

• ભાગાકાર: 10m ÷ 2m = 5 (m ઉડી ગયા)

૨) 4x² અને 3y (વિજાતીય પદો)

• સરવાળો: 4x² + 3y (સીધો સરવાળો શક્ય નથી)

• બાદબાકી: 4x² - 3y (બાદબાકી શક્ય નથી)

• ગુણાકાર: 4 × 3 = 12x²y

• ભાગાકાર: 4x² ÷ 3y (છેદ ઉડતા નથી)

૩) 9y² અને -3y² (સજાતીય પદો)

• સરવાળો: 9y² + (-3y²) = 9y² - 3y² = 6y²

• બાદબાકી: 9y² - (-3y²) = 9y² + 3y² = 12y² (ઓછા-ઓછા વત્તા)

• ગુણાકાર: 9 × (-3) = -27y⁴ (ઘાત 2+2=4)

• ભાગાકાર: 9y² ÷ (-3y²) = -3 (y² ઉડી ગયા)

૪) 6ab અને 2a (વિજાતીય પદો)

• સરવાળો: 6ab + 2a

• બાદબાકી: 6ab - 2a

• ગુણાકાર: 6 × 2 = 12a²b (સમાન ચલ a ની ઘાત 1+1=2 થઈ)

• ભાગાકાર: 6ab ÷ 2a = 3b (a ઉડી ગયા)

૫) -12p²q અને -4p²q (સજાતીય પદો)

• સરવાળો: -12p²q + (-4p²q) = -16p²q (બંને માઇનસ હોવાથી સરવાળો)

• બાદબાકી: -12p²q - (-4p²q) = -12p²q + 4p²q = -8p²q

• ગુણાકાર: -12 × -4 = 48p⁴q² (ઓછા × ઓછા = વત્તા)

• ભાગાકાર: -12p²q ÷ -4p²q = 3 (બધા ચલ ઉડી ગયા)

૬) 8x³ અને 4x² (વિજાતીય પદો - ઘાત અલગ છે)

• સરવાળો: 8x³ + 4x²

• બાદબાકી: 8x³ - 4x²

• ગુણાકાર: 8 × 4 = 32x⁵ (ઘાત 3+2=5)

• ભાગાકાર: 8x³ ÷ 4x² = 2x (ઘાતની બાદબાકી 3-2=1)

૭) 15xyz અને 5xyz (સજાતીય પદો)

• સરવાળો: 15 + 5 = 20xyz

• બાદબાકી: 15 - 5 = 10xyz

• ગુણાકાર: 15 × 5 = 75x²y²z²

• ભાગાકાર: 15xyz ÷ 5xyz = 3

૮) 7m²n અને 2mn² (વિજાતીય પદો)

• સરવાળો: 7m²n + 2mn² (m અને n ની ઘાત અલગ હોવાથી સરવાળો ન થાય)

• બાદબાકી: 7m²n - 2mn²

• ગુણાકાર: 7 × 2 = 14m³n³ (ઘાત 2+1=3)

• ભાગાકાર: 7m ÷ 2n (અંશમાં એક m અને છેદમાં એક n વધે)

૯) 20a²b અને 4a²b (સજાતીય પદો)

• સરવાળો: 20 + 4 = 24a²b

• બાદબાકી: 20 - 4 = 16a²b

• ગુણાકાર: 20 × 4 = 80a⁴b²

• ભાગાકાર: 20a²b ÷ 4a²b = 5

૧૦) 10 અને 5x (વિજાતીય પદો)

• સરવાળો: 10 + 5x

• બાદબાકી: 10 - 5x

• ગુણાકાર: 10 × 5x = 50x

• ભાગાકાર: 10 ÷ 5x = 2 ÷ x (અથવા 2/x)

વિદ્યાર્થીઓ માટે બીજગણિતના પદોની ચારેય ગાણિતિક ક્રિયાઓ (+, -, ×, ÷) જાતે ગણવા માટેની પ્રેક્ટિસ વર્કશીટ. આ કોષ્ટક જાતે ભરો અને ગણિત પાકું કરો!