🎯 Board Exam Special: Class 10 Math Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ - Real Numbers Ultimate MCQ Test
ધોરણ 10 ગણિત પ્રકરણ 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ - Real Numbers
- સંપૂર્ણ ઇન્ટરેક્ટિવ ઓનલાઇન ક્વિઝ
 |
| GSEB Class 10 Maths Chapter 1 (Vastvik Sankhyao) na most important notes aur online quiz. Ganit to Rajubhinu j aur Samajik Vigyan Suresh Sir nu j! Rajesh Patel Group Tuition. |
🔵 ગુજરાતી માધ્યમ (Gujarati Medium) - પ્રકરણ 1: વાસ્તવિક સંખ્યાઓ
🎯 આ પ્રકરણમાં આપણે શું શીખીશું?.
પ્રકરણ 1: વાસ્તવિક સંખ્યાઓ - આપણે શું શીખીશું?
ગણિતનું આ પ્રથમ પ્રકરણ પાયાનું અને ખૂબ જ મહત્વનું છે. આ પ્રકરણમાં આપણે સંખ્યાઓના ઊંડાણપૂર્વકના ગુણધર્મો વિશે શીખીએ છીએ. મુખ્યત્વે આ પ્રકરણમાં નીચે મુજબના મુદ્દાઓનો સમાવેશ થાય છે:
1. યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય અને ભાગપ્રવિધિ:
આ પ્રકરણની શરૂઆતમાં આપણે ભાગાકારના એક પ્રાચીન અને સચોટ નિયમ વિશે શીખીશું. યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ એ બે ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. (ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધવા માટેની એક અસરકારક રીત છે. તે આપણને સમજાવે છે કે કેવી રીતે મોટી સંખ્યાઓને નાના ભાગમાં વહેંચીને તેમનો સામાન્ય ભાજક શોધી શકાય.
2. અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય:
આ પ્રમેય આપણને શીખવે છે કે દુનિયાની કોઈપણ વિભાજ્ય સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે. દાખલા તરીકે, 15 ને 3 × 5 તરીકે લખી શકાય. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આપણે બે કે તેથી વધુ સંખ્યાઓના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. (લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી) શોધતા શીખીશું. આ રીત પરીક્ષા માટે ખૂબ જ ઉપયોગી છે.
3. અસંમેય સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન:
આપણે અગાઉના ધોરણમાં શીખ્યા છીએ કે જે સંખ્યાને p/q સ્વરૂપમાં ન લખી શકાય તેને અસંમેય સંખ્યા કહેવાય. આ પ્રકરણમાં આપણે સાબિત કરતા શીખીશું કે √2, √3, √5 શા માટે અસંમેય છે. આ સાબિતીઓ તાર્કિક ક્ષમતા વધારવા માટે જરૂરી છે.
4. સંમેય સંખ્યાઓ અને તેમનું દશાંશ નિરૂપણ:
કોઈપણ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ સ્વરૂપ ક્યારે 'શાંત' હશે અને ક્યારે 'અનંત અને આવૃત' હશે, તે ભાગાકાર કર્યા વગર કેવી રીતે જાણી શકાય તે આ પ્રકરણનો એક રસપ્રદ ભાગ છે. આપણે શીખીશું કે જો છેદના અવયવો 2ⁿ × 5ᵐ સ્વરૂપમાં હોય, તો તે સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત મળે છે.
વિદ્યાર્થી મિત્રો, બોર્ડની પરીક્ષામાં પૂરા માર્ક્સ અપાવતા આ પ્રકરણમાં આપણે નીચેની મુખ્ય બાબતો શીખીશું:
💡 યાદ રાખવાના મહત્વના મુદ્દાઓ (પરીક્ષામાં ગુણ મેળવવા માટે)
ચોક્કસ, આ રહ્યા પ્રકરણ 1 ના તમામ 100 વન-લાઇનર્સ (One-liners) સુધારેલા યુનિકોડ ફોન્ટ સાથે, જેથી વિદ્યાર્થીઓ ઘાત અને પદોને સરળતાથી વાંચી શકે. તમે આ આખું લિસ્ટ સીધું જ તમારા બ્લોગ કે પોસ્ટમાં કોપી-પેસ્ટ કરી શકશો.
પ્રકરણ 1: વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (100 IMP One-Liners)
સંખ્યાઓનો પરિચય
ગણતરીની સંખ્યાઓના ગણને પ્રાકૃતિક સંખ્યા ગણ (N) કહે છે (N = {1, 2, 3, ...}).
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં શૂન્ય (0) ઉમેરવાથી પૂર્ણ સંખ્યાઓનો ગણ (W) મળે છે.
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ (Z) માં ધન પૂર્ણાંકો, ઋણ પૂર્ણાંકો અને શૂન્યનો સમાવેશ થાય છે.
જે સંખ્યાને p/q (જ્યાં p અને q પૂર્ણાંક છે અને q શૂન્ય નથી) સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય તેને સંમેય સંખ્યા (Q) કહે છે.
જે સંખ્યાને p/q સ્વરૂપમાં ન દર્શાવી શકાય તેને અસંમેય સંખ્યા કહે છે.
સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓ મળીને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ (R) બનાવે છે.
સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા 1 છે.
સૌથી નાની પૂર્ણ સંખ્યા 0 છે.
0 એ સંમેય સંખ્યા છે.
બે સંમેય સંખ્યાઓ વચ્ચે અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ આવેલી છે.
દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, પરંતુ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
1 એ ગુણાકાર માટેની તટસ્થ સંખ્યા છે.
0 એ સરવાળા માટેની તટસ્થ સંખ્યા છે.
યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ અને ગુ.સા.અ.
14. યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય: આપેલ ધન પૂર્ણાંકો a અને b માટે અનન્ય અનૃણ પૂર્ણાંકો q અને r એવા મળે કે જેથી a = bq + r થાય.
15. a = bq + r માં શેષ r માટેની શરત હંમેશા: 0 ≤ r < b હોય છે.
16. સૂત્ર: ભાજ્ય = (ભાજક × ભાગફળ) + શેષ.
17. જો a = bq + r માં શેષ r = 0 હોય, તો b એ a નો અવયવ છે તેમ કહેવાય.
18. યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિનો મુખ્ય ઉપયોગ બે ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે થાય છે.
19. ગુ.સા.અ. (a, b) એ a અને b નો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક છે.
20. કોઈ પણ બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. હંમેશા 1 મળે છે.
21. બે ક્રમિક યુગ્મ (બેકી) ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. 2 હોય છે.
22. બે ક્રમિક અયુગ્મ (એકી) ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. 1 હોય છે.
23. જો a એ b નો અવયવ હોય, તો ગુ.સા.અ.(a, b) = a થાય.
24. જો a એ b નો અવયવ હોય, તો લ.સા.અ.(a, b) = b થાય.
25. યુક્લિડની પ્રવિધિ માત્ર ધન પૂર્ણાંકો માટે જ વ્યાખ્યાયિત છે.
અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય અને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ
26. 1 એ અવિભાજ્ય કે વિભાજ્ય સંખ્યા નથી, તે વિશિષ્ટ સંખ્યા છે.
27. સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા 2 છે.
28. એકમાત્ર યુગ્મ (બેકી) અવિભાજ્ય સંખ્યા 2 છે.
29. સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા 4 છે.
30. અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય: દરેક વિભાજ્ય સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે અનન્ય રીતે દર્શાવી શકાય છે.
31. કોઈપણ વિભાજ્ય સંખ્યાના અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ક્રમને અવગણતા તે અનન્ય હોય છે.
32. જો કોઈ સંખ્યાનો એકમનો અંક 0 હોય, તો તે સંખ્યા 2 અને 5 બંને વડે વિભાજ્ય હોય છે.
33. 4ⁿ નો અંતિમ અંક ક્યારેય 0 ન હોઈ શકે, કારણ કે તેના અવિભાજ્ય અવયવોમાં 5 આવતો નથી.
34. 6ⁿ નો અંતિમ અંક પણ ક્યારેય 0 ન મળે, કારણ કે તેના અવયવો (2 અને 3) માં 5 નથી.
35. જો p એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય, તો p ના માત્ર બે જ અવયવ હોય છે: 1 અને p પોતે.
36. જે બે સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. 1 હોય, તેને પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (Co-prime numbers) કહે છે.
37. દા.ત., 15 અને 16 નો ગુ.સા.અ. 1 છે, તેથી તે પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
38. અવિભાજ્ય અવયવની રીતમાં ગુ.સા.અ. એટલે સામાન્ય અવયવોની નાનામાં નાની ઘાતનો ગુણાકાર.
39. અવિભાજ્ય અવયવની રીતમાં લ.સા.અ. એટલે તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની મોટામાં મોટી ઘાતનો ગુણાકાર.
ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. ના અગત્યના સૂત્રો
40. કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો a અને b માટે: ગુ.સા.અ.(a, b) × લ.સા.અ.(a, b) = a × b.
41. ગુ.સા.અ.(a, b) = (a × b) / લ.સા.અ.(a, b).
42. લ.સા.અ.(a, b) = (a × b) / ગુ.સા.અ.(a, b).
43. બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. હંમેશા તેમના ગુ.સા.અ. વડે નિઃશેષ વિભાજ્ય હોય છે.
44. ગુ.સા.અ. (a, a) = a થાય.
45. લ.સા.અ. (a, a) = a થાય.
46. ગુ.સા.અ. (a, 1) = 1 થાય.
47. લ.સા.અ. (a, 1) = a થાય.
48. બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ p અને q માટે, ગુ.સા.અ. (p, q) = 1 થાય.
49. બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ p અને q માટે, લ.સા.અ. (p, q) = p × q થાય.
50. જો ગુ.સા.અ. (x, y) = 1 હોય, તો લ.સા.અ. (x, y) = x × y થાય.
51. ત્રણ સંખ્યાઓ માટે: ગુ.સા.અ.(a, b, c) × લ.સા.અ.(a, b, c) ≠ a × b × c.
52. નાનામાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા (2) અને નાનામાં નાની વિભાજ્ય સંખ્યા (4) નો ગુ.સા.અ. 2 છે.
53. નાનામાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને નાનામાં નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. 4 છે.
54. કોઈ પણ સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. ક્યારેય આપેલી સંખ્યાઓ કરતા મોટો ન હોઈ શકે.
55. કોઈ પણ સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. ક્યારેય આપેલી સંખ્યાઓ કરતા નાનો ન હોઈ શકે.
સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓના ગુણધર્મો
56. વર્ગમૂળમાં 2 (√2) એ અસંમેય સંખ્યા છે.
57. વર્ગમૂળમાં 3 (√3) એ અસંમેય સંખ્યા છે.
58. વર્ગમૂળમાં 4 (√4 = 2) હોવાથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
59. પાય (π) એ અસંમેય સંખ્યા છે.
60. 22/7 એ સંમેય સંખ્યા છે (તે π નું આશરે મૂલ્ય છે).
61. સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાનો સરવાળો હંમેશા અસંમેય મળે છે (દા.ત., 2 + √3).
62. સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાની બાદબાકી હંમેશા અસંમેય મળે છે (દા.ત., 5 - √2).
63. શૂન્યતર સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાનો ગુણાકાર અસંમેય મળે છે (દા.ત., 3√2).
64. શૂન્યતર સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાનો ભાગાકાર અસંમેય મળે છે.
65. બે અસંમેય સંખ્યાઓનો સરવાળો સંમેય પણ હોઈ શકે.
66. બે અસંમેય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર સંમેય પણ હોઈ શકે.
67. પ્રમેય 1.3: જો p એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય અને p એ a² ને ભાગી શકે, તો p એ a ને પણ ભાગી શકે.
68. તમામ પૂર્ણ વર્ગ ન હોય તેવી સંખ્યાઓનું વર્ગમૂળ અસંમેય હોય છે.
69. ઘનમૂળમાં 8 ની કિંમત 2 છે, તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
70. વર્ગમૂળમાં 5 એ અસંમેય સંખ્યા છે, તેથી 3 + 2√5 પણ અસંમેય જ છે.
71. e (યુલરનો અંક) પણ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
72. કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા p માટે, √p હંમેશા અસંમેય સંખ્યા છે.
73. કોઈપણ બે સંમેય સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા સંમેય જ રહે છે.
દશાંશ નિરૂપણ
74. સંમેય સંખ્યાઓ p/q નું દશાંશ નિરૂપણ કાં તો શાંત હોય અથવા અનંત અને આવૃત હોય.
75. અસંમેય સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ હંમેશા અનંત અને અનાવૃત હોય છે.
76. જો p/q માં છેદ q નું અવયવીકરણ 2ⁿ × 5ᵐ સ્વરૂપનું હોય, તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય.
77. જો છેદ q માં 2 કે 5 સિવાયનો અન્ય અવિભાજ્ય અવયવ હોય, તો દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત મળે.
78. શાંત દશાંશ નક્કી કરતા પહેલા અંશ-છેદને અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપવું.
79. 17/8 નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે, કારણ કે 8 = 2³.
80. 17/8 ના દશાંશ નિરૂપણમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી 3 અંકો આવશે.
81. 64/455 નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.
82. શાંત દશાંશ નિરૂપણ વાળી સંખ્યાને p/q સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
83. અનંત અને આવૃત દશાંશ નિરૂપણ વાળી સંખ્યા (દા.ત., 0.333...) સંમેય સંખ્યા છે.
84. 0.121121112... જેવી સંખ્યા અનંત અને અનાવૃત છે, તેથી તે અસંમેય છે.
85. છેદમાં 2ᵐ × 5ⁿ સ્વરૂપ હોય, તો દશાંશ ચિહ્ન પછી જે ઘાત મોટી હોય તેટલા અંકો આવે.
86. દા.ત., 13/125 માં 125 = 5³ છે, તેથી દશાંશ ચિહ્ન પછી 3 અંકો આવશે (0.104).
87. 3/15 (1/5) નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
88. 35/50 (7/10) નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે (0.7).
89. 77/210 (11/30) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.
90. 129 / (2² × 5⁷ × 7⁵) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે (કારણ કે છેદમાં 7⁵ છે).
અન્ય હેતુલક્ષી મુદ્દાઓ
91. જો ગુ.સા.અ.(x, y) = 15 અને ગુણાકાર 1800 હોય, તો લ.સા.અ. = 120.
92. p અને q ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય, તો ગુ.સા.અ. 1 થાય.
93. n ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે 12ⁿ નો છેલ્લો અંક ક્યારેય 0 ન હોય.
94. ગુ.સા.અ. એ હંમેશા લ.સા.અ. નો અવયવ હોય છે.
95. જો 65 અને 117 ના ગુ.સા.અ. ને 65m - 117 તરીકે દર્શાવાય, તો m = 2.
96. સૌથી નાની અવિભાજ્ય અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો ગુણાકાર 8 છે.
97. 0.3̅ નું p/q સ્વરૂપ 1/3 થાય છે.
98. 0.9̅ ની કિંમત ગણિતમાં 1 બરાબર લેવામાં આવે છે.
99. છેદમાં 2 અને 5 ના અવયવોની સંખ્યા જાણીને દશાંશના અંકોની સંખ્યા જાણી શકાય છે.
GSEB Std 10 Maths Chapter 1: Real Numbers (IMP Questions with Answers)
ગણિતનું આ પ્રથમ પ્રકરણ પાયાનું અને ખૂબ જ મહત્વનું છે. આ પ્રકરણમાં આપણે સંખ્યાઓના ઊંડાણપૂર્વકના ગુણધર્મો વિશે શીખીએ છીએ. મુખ્યત્વે આ પ્રકરણમાં નીચે મુજબના મુદ્દાઓનો સમાવેશ થાય છે:
1. યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય અને ભાગપ્રવિધિ:
આ પ્રકરણની શરૂઆતમાં આપણે ભાગાકારના એક પ્રાચીન અને સચોટ નિયમ વિશે શીખીશું. યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ એ બે ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. (ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધવા માટેની એક અસરકારક રીત છે. તે આપણને સમજાવે છે કે કેવી રીતે મોટી સંખ્યાઓને નાના ભાગમાં વહેંચીને તેમનો સામાન્ય ભાજક શોધી શકાય.
2. અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય:
આ પ્રમેય આપણને શીખવે છે કે દુનિયાની કોઈપણ વિભાજ્ય સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે. દાખલા તરીકે, 15 ને 3 × 5 તરીકે લખી શકાય. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આપણે બે કે તેથી વધુ સંખ્યાઓના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. (લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી) શોધતા શીખીશું. આ રીત પરીક્ષા માટે ખૂબ જ ઉપયોગી છે.
3. અસંમેય સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન:
આપણે અગાઉના ધોરણમાં શીખ્યા છીએ કે જે સંખ્યાને p/q સ્વરૂપમાં ન લખી શકાય તેને અસંમેય સંખ્યા કહેવાય. આ પ્રકરણમાં આપણે સાબિત કરતા શીખીશું કે √2, √3, √5 શા માટે અસંમેય છે. આ સાબિતીઓ તાર્કિક ક્ષમતા વધારવા માટે જરૂરી છે.
4. સંમેય સંખ્યાઓ અને તેમનું દશાંશ નિરૂપણ:
કોઈપણ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ સ્વરૂપ ક્યારે 'શાંત' હશે અને ક્યારે 'અનંત અને આવૃત' હશે, તે ભાગાકાર કર્યા વગર કેવી રીતે જાણી શકાય તે આ પ્રકરણનો એક રસપ્રદ ભાગ છે. આપણે શીખીશું કે જો છેદના અવયવો 2ⁿ × 5ᵐ સ્વરૂપમાં હોય, તો તે સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત મળે છે.
વિદ્યાર્થી મિત્રો, બોર્ડની પરીક્ષામાં પૂરા માર્ક્સ અપાવતા આ પ્રકરણમાં આપણે નીચેની મુખ્ય બાબતો શીખીશું:
💡 યાદ રાખવાના મહત્વના મુદ્દાઓ (પરીક્ષામાં ગુણ મેળવવા માટે)
ચોક્કસ, આ રહ્યા પ્રકરણ 1 ના તમામ 100 વન-લાઇનર્સ (One-liners) સુધારેલા યુનિકોડ ફોન્ટ સાથે, જેથી વિદ્યાર્થીઓ ઘાત અને પદોને સરળતાથી વાંચી શકે. તમે આ આખું લિસ્ટ સીધું જ તમારા બ્લોગ કે પોસ્ટમાં કોપી-પેસ્ટ કરી શકશો.
પ્રકરણ 1: વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (100 IMP One-Liners)
સંખ્યાઓનો પરિચય
ગણતરીની સંખ્યાઓના ગણને પ્રાકૃતિક સંખ્યા ગણ (N) કહે છે (N = {1, 2, 3, ...}).
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં શૂન્ય (0) ઉમેરવાથી પૂર્ણ સંખ્યાઓનો ગણ (W) મળે છે.
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ (Z) માં ધન પૂર્ણાંકો, ઋણ પૂર્ણાંકો અને શૂન્યનો સમાવેશ થાય છે.
જે સંખ્યાને p/q (જ્યાં p અને q પૂર્ણાંક છે અને q શૂન્ય નથી) સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય તેને સંમેય સંખ્યા (Q) કહે છે.
જે સંખ્યાને p/q સ્વરૂપમાં ન દર્શાવી શકાય તેને અસંમેય સંખ્યા કહે છે.
સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓ મળીને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ (R) બનાવે છે.
સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા 1 છે.
સૌથી નાની પૂર્ણ સંખ્યા 0 છે.
0 એ સંમેય સંખ્યા છે.
બે સંમેય સંખ્યાઓ વચ્ચે અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ આવેલી છે.
દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, પરંતુ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
1 એ ગુણાકાર માટેની તટસ્થ સંખ્યા છે.
0 એ સરવાળા માટેની તટસ્થ સંખ્યા છે.
યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ અને ગુ.સા.અ.
14. યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય: આપેલ ધન પૂર્ણાંકો a અને b માટે અનન્ય અનૃણ પૂર્ણાંકો q અને r એવા મળે કે જેથી a = bq + r થાય.
15. a = bq + r માં શેષ r માટેની શરત હંમેશા: 0 ≤ r < b હોય છે.
16. સૂત્ર: ભાજ્ય = (ભાજક × ભાગફળ) + શેષ.
17. જો a = bq + r માં શેષ r = 0 હોય, તો b એ a નો અવયવ છે તેમ કહેવાય.
18. યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિનો મુખ્ય ઉપયોગ બે ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે થાય છે.
19. ગુ.સા.અ. (a, b) એ a અને b નો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક છે.
20. કોઈ પણ બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. હંમેશા 1 મળે છે.
21. બે ક્રમિક યુગ્મ (બેકી) ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. 2 હોય છે.
22. બે ક્રમિક અયુગ્મ (એકી) ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. 1 હોય છે.
23. જો a એ b નો અવયવ હોય, તો ગુ.સા.અ.(a, b) = a થાય.
24. જો a એ b નો અવયવ હોય, તો લ.સા.અ.(a, b) = b થાય.
25. યુક્લિડની પ્રવિધિ માત્ર ધન પૂર્ણાંકો માટે જ વ્યાખ્યાયિત છે.
અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય અને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ
26. 1 એ અવિભાજ્ય કે વિભાજ્ય સંખ્યા નથી, તે વિશિષ્ટ સંખ્યા છે.
27. સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા 2 છે.
28. એકમાત્ર યુગ્મ (બેકી) અવિભાજ્ય સંખ્યા 2 છે.
29. સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા 4 છે.
30. અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય: દરેક વિભાજ્ય સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે અનન્ય રીતે દર્શાવી શકાય છે.
31. કોઈપણ વિભાજ્ય સંખ્યાના અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ક્રમને અવગણતા તે અનન્ય હોય છે.
32. જો કોઈ સંખ્યાનો એકમનો અંક 0 હોય, તો તે સંખ્યા 2 અને 5 બંને વડે વિભાજ્ય હોય છે.
33. 4ⁿ નો અંતિમ અંક ક્યારેય 0 ન હોઈ શકે, કારણ કે તેના અવિભાજ્ય અવયવોમાં 5 આવતો નથી.
34. 6ⁿ નો અંતિમ અંક પણ ક્યારેય 0 ન મળે, કારણ કે તેના અવયવો (2 અને 3) માં 5 નથી.
35. જો p એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય, તો p ના માત્ર બે જ અવયવ હોય છે: 1 અને p પોતે.
36. જે બે સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. 1 હોય, તેને પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (Co-prime numbers) કહે છે.
37. દા.ત., 15 અને 16 નો ગુ.સા.અ. 1 છે, તેથી તે પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
38. અવિભાજ્ય અવયવની રીતમાં ગુ.સા.અ. એટલે સામાન્ય અવયવોની નાનામાં નાની ઘાતનો ગુણાકાર.
39. અવિભાજ્ય અવયવની રીતમાં લ.સા.અ. એટલે તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની મોટામાં મોટી ઘાતનો ગુણાકાર.
ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. ના અગત્યના સૂત્રો
40. કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો a અને b માટે: ગુ.સા.અ.(a, b) × લ.સા.અ.(a, b) = a × b.
41. ગુ.સા.અ.(a, b) = (a × b) / લ.સા.અ.(a, b).
42. લ.સા.અ.(a, b) = (a × b) / ગુ.સા.અ.(a, b).
43. બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. હંમેશા તેમના ગુ.સા.અ. વડે નિઃશેષ વિભાજ્ય હોય છે.
44. ગુ.સા.અ. (a, a) = a થાય.
45. લ.સા.અ. (a, a) = a થાય.
46. ગુ.સા.અ. (a, 1) = 1 થાય.
47. લ.સા.અ. (a, 1) = a થાય.
48. બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ p અને q માટે, ગુ.સા.અ. (p, q) = 1 થાય.
49. બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ p અને q માટે, લ.સા.અ. (p, q) = p × q થાય.
50. જો ગુ.સા.અ. (x, y) = 1 હોય, તો લ.સા.અ. (x, y) = x × y થાય.
51. ત્રણ સંખ્યાઓ માટે: ગુ.સા.અ.(a, b, c) × લ.સા.અ.(a, b, c) ≠ a × b × c.
52. નાનામાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા (2) અને નાનામાં નાની વિભાજ્ય સંખ્યા (4) નો ગુ.સા.અ. 2 છે.
53. નાનામાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને નાનામાં નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. 4 છે.
54. કોઈ પણ સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. ક્યારેય આપેલી સંખ્યાઓ કરતા મોટો ન હોઈ શકે.
55. કોઈ પણ સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. ક્યારેય આપેલી સંખ્યાઓ કરતા નાનો ન હોઈ શકે.
સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓના ગુણધર્મો
56. વર્ગમૂળમાં 2 (√2) એ અસંમેય સંખ્યા છે.
57. વર્ગમૂળમાં 3 (√3) એ અસંમેય સંખ્યા છે.
58. વર્ગમૂળમાં 4 (√4 = 2) હોવાથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
59. પાય (π) એ અસંમેય સંખ્યા છે.
60. 22/7 એ સંમેય સંખ્યા છે (તે π નું આશરે મૂલ્ય છે).
61. સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાનો સરવાળો હંમેશા અસંમેય મળે છે (દા.ત., 2 + √3).
62. સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાની બાદબાકી હંમેશા અસંમેય મળે છે (દા.ત., 5 - √2).
63. શૂન્યતર સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાનો ગુણાકાર અસંમેય મળે છે (દા.ત., 3√2).
64. શૂન્યતર સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાનો ભાગાકાર અસંમેય મળે છે.
65. બે અસંમેય સંખ્યાઓનો સરવાળો સંમેય પણ હોઈ શકે.
66. બે અસંમેય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર સંમેય પણ હોઈ શકે.
67. પ્રમેય 1.3: જો p એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય અને p એ a² ને ભાગી શકે, તો p એ a ને પણ ભાગી શકે.
68. તમામ પૂર્ણ વર્ગ ન હોય તેવી સંખ્યાઓનું વર્ગમૂળ અસંમેય હોય છે.
69. ઘનમૂળમાં 8 ની કિંમત 2 છે, તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
70. વર્ગમૂળમાં 5 એ અસંમેય સંખ્યા છે, તેથી 3 + 2√5 પણ અસંમેય જ છે.
71. e (યુલરનો અંક) પણ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
72. કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા p માટે, √p હંમેશા અસંમેય સંખ્યા છે.
73. કોઈપણ બે સંમેય સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા સંમેય જ રહે છે.
દશાંશ નિરૂપણ
74. સંમેય સંખ્યાઓ p/q નું દશાંશ નિરૂપણ કાં તો શાંત હોય અથવા અનંત અને આવૃત હોય.
75. અસંમેય સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ હંમેશા અનંત અને અનાવૃત હોય છે.
76. જો p/q માં છેદ q નું અવયવીકરણ 2ⁿ × 5ᵐ સ્વરૂપનું હોય, તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય.
77. જો છેદ q માં 2 કે 5 સિવાયનો અન્ય અવિભાજ્ય અવયવ હોય, તો દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત મળે.
78. શાંત દશાંશ નક્કી કરતા પહેલા અંશ-છેદને અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપવું.
79. 17/8 નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે, કારણ કે 8 = 2³.
80. 17/8 ના દશાંશ નિરૂપણમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી 3 અંકો આવશે.
81. 64/455 નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.
82. શાંત દશાંશ નિરૂપણ વાળી સંખ્યાને p/q સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
83. અનંત અને આવૃત દશાંશ નિરૂપણ વાળી સંખ્યા (દા.ત., 0.333...) સંમેય સંખ્યા છે.
84. 0.121121112... જેવી સંખ્યા અનંત અને અનાવૃત છે, તેથી તે અસંમેય છે.
85. છેદમાં 2ᵐ × 5ⁿ સ્વરૂપ હોય, તો દશાંશ ચિહ્ન પછી જે ઘાત મોટી હોય તેટલા અંકો આવે.
86. દા.ત., 13/125 માં 125 = 5³ છે, તેથી દશાંશ ચિહ્ન પછી 3 અંકો આવશે (0.104).
87. 3/15 (1/5) નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
88. 35/50 (7/10) નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે (0.7).
89. 77/210 (11/30) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.
90. 129 / (2² × 5⁷ × 7⁵) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે (કારણ કે છેદમાં 7⁵ છે).
અન્ય હેતુલક્ષી મુદ્દાઓ
91. જો ગુ.સા.અ.(x, y) = 15 અને ગુણાકાર 1800 હોય, તો લ.સા.અ. = 120.
92. p અને q ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય, તો ગુ.સા.અ. 1 થાય.
93. n ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે 12ⁿ નો છેલ્લો અંક ક્યારેય 0 ન હોય.
94. ગુ.સા.અ. એ હંમેશા લ.સા.અ. નો અવયવ હોય છે.
95. જો 65 અને 117 ના ગુ.સા.અ. ને 65m - 117 તરીકે દર્શાવાય, તો m = 2.
96. સૌથી નાની અવિભાજ્ય અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો ગુણાકાર 8 છે.
97. 0.3̅ નું p/q સ્વરૂપ 1/3 થાય છે.
98. 0.9̅ ની કિંમત ગણિતમાં 1 બરાબર લેવામાં આવે છે.
99. છેદમાં 2 અને 5 ના અવયવોની સંખ્યા જાણીને દશાંશના અંકોની સંખ્યા જાણી શકાય છે.
GSEB Std 10 Maths Chapter 1: Real Numbers (IMP Questions with Answers)
પ્રશ્ન 1: યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિમાં a = bq + r માં જો a = 73, b = 9 હોય તો q અને r શોધો.
જવાબ: 73 = 9 × 8 + 1 (અહીં 73 ને 9 વડે ભાગતા 8 ભાગફળ અને 1 શેષ વધે છે)
તેથી, q = 8 અને r = 1.
પ્રશ્ન 2: 15 અને 35 નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો.
જવાબ: 15 = 3 × 5 અને 35 = 7 × 5.
ગુ.સા.અ. = 5 (સામાન્ય અવયવ)
લ.સા.અ. = 5 × 3 × 7 = 105.
પ્રશ્ન 3: જો ગુ.સા.અ.(25, 15) = 5 હોય, તો લ.સા.અ.(25, 15) શોધો.
જવાબ: સૂત્ર મુજબ: ગુ.સા.અ. × લ.સા.અ. = સંખ્યાઓનો ગુણાકાર
5 × લ.સા.અ. = 25 × 15
લ.સા.અ. = 375 / 5 = 75.
પ્રશ્ન 4: 156 ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો.
જવાબ: 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13.
પ્રશ્ન 5: સંમેય સંખ્યા 13/3125 નું દશાંશ નિરૂપણ કેવું હશે?
જવાબ: છેદ 3125 = 5⁵ છે. છેદ 2ⁿ × 5ᵐ સ્વરૂપમાં હોવાથી દશાંશ નિરૂપણ શાંત હશે.
પ્રશ્ન 6: 17/8 ના દશાંશ નિરૂપણમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી કેટલા અંકો આવશે?
જવાબ: 8 = 2³. અહીં મહત્તમ ઘાત 3 હોવાથી દશાંશ ચિહ્ન પછી 3 અંકો આવશે.
પ્રશ્ન 7: બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. કેટલો થાય?
જવાબ: કોઈપણ બે ક્રમિક સંખ્યાઓ (જેમ કે 4, 5) નો ગુ.સા.અ. હંમેશા 1 થાય.
પ્રશ્ન 8: સૌથી નાની અવિભાજ્ય અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. લખો.
જવાબ: સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા 2 અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા 4 છે. તેમનો લ.સા.અ. 4 થાય.
પ્રશ્ન 9: શું 6ⁿ નો અંતિમ અંક શૂન્ય હોઈ શકે?
જવાબ: ના, કારણ કે 6 ના અવયવ 2 × 3 છે, જેમાં અવિભાજ્ય અવયવ 5 નથી. શૂન્ય માટે 2 અને 5 બંને હોવા જરૂરી છે.
પ્રશ્ન 10: અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતે 96 અને 404 નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો.
જવાબ: 96 = 2⁵ × 3 અને 404 = 2² × 101.
ગુ.સા.અ. = 2² = 4.
લ.સા.અ. = (96 × 404) / 4 = 9696.
પ્રશ્ન 11: યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 135 અને 225 નો ગુ.સા.અ. શોધો.
જવાબ: 225 = 135 × 1 + 90
135 = 90 × 1 + 45
90 = 45 × 2 + 0
તેથી, ગુ.સા.અ. = 45.
પ્રશ્ન 12: અવિભાજ્ય અવયવની રીતે 6, 72 અને 120 નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો.
જવાબ: 6 = 2 × 3, 72 = 2³ × 3², 120 = 2³ × 3 × 5.
ગુ.સા.અ. = 2 × 3 = 6.
લ.સા.અ. = 2³ × 3² × 5 = 360.
પ્રશ્ન 13: સોનિયાને એક રાઉન્ડમાં 18 મિનિટ અને રવિને 12 મિનિટ લાગે છે. તેઓ ફરી ક્યારે ભેગા થશે?
જવાબ: 18 અને 12 નો લ.સા.અ. શોધતા: 18 = 2 × 3² અને 12 = 2² × 3.
લ.સા.અ. = 2² × 3² = 36.
તેઓ 36 મિનિટ પછી ફરી ભેગા થશે.
પ્રશ્ન 14: 196 અને 38220 નો ગુ.સા.અ. યુક્લિડની રીતે શોધો.
જવાબ: 38220 = 196 × 195 + 0.
અહીં શેષ 0 છે, માટે ગુ.સા.અ. = 196.
પ્રશ્ન 15: જો લ.સા.અ.(306, 657) = 22338 હોય, તો ગુ.સા.અ. શોધો.
જવાબ: ગુ.સા.અ. = (306 × 657) / 22338 = 9.
પ્રશ્ન 16: સમજાવો કે (7 × 11 × 13 + 13) વિભાજ્ય સંખ્યા કેમ છે?
જવાબ: 13 સામાન્ય લેતા: 13 × (7 × 11 + 1) = 13 × 78. સંખ્યાને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે, તેથી તે વિભાજ્ય છે.
પ્રશ્ન 17: 12, 15 અને 21 નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો.
જવાબ: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7.
ગુ.સા.અ. = 3, લ.સા.અ. = 420.
પ્રશ્ન 18: 616 સભ્યોનું જૂથ 32 સભ્યોના બેન્ડ પાછળ કૂચ કરે તો મહત્તમ કેટલા સ્તંભ બને?
જવાબ: 616 અને 32 નો ગુ.સા.અ. શોધતા: 616 = 32 × 19 + 8; 32 = 8 × 4 + 0.
મહત્તમ 8 સ્તંભ બને.
પ્રશ્ન 19: ભાગાકાર વગર 35/50 નું દશાંશ નિરૂપણ જણાવો.
જવાબ: 35/50 = 7/10 = 0.7. છેદમાં 10 (2 × 5) હોવાથી તે શાંત છે.
પ્રશ્ન 1: યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિમાં a = bq + r માં જો a = 73, b = 9 હોય તો q અને r શોધો.
જવાબ: 73 = 9 × 8 + 1 (અહીં 73 ને 9 વડે ભાગતા 8 ભાગફળ અને 1 શેષ વધે છે)
તેથી, q = 8 અને r = 1.
પ્રશ્ન 2: 15 અને 35 નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો.
જવાબ: 15 = 3 × 5 અને 35 = 7 × 5.
ગુ.સા.અ. = 5 (સામાન્ય અવયવ)
લ.સા.અ. = 5 × 3 × 7 = 105.
પ્રશ્ન 3: જો ગુ.સા.અ.(25, 15) = 5 હોય, તો લ.સા.અ.(25, 15) શોધો.
જવાબ: સૂત્ર મુજબ: ગુ.સા.અ. × લ.સા.અ. = સંખ્યાઓનો ગુણાકાર
5 × લ.સા.અ. = 25 × 15
લ.સા.અ. = 375 / 5 = 75.
પ્રશ્ન 4: 156 ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવો.
જવાબ: 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13.
પ્રશ્ન 5: સંમેય સંખ્યા 13/3125 નું દશાંશ નિરૂપણ કેવું હશે?
જવાબ: છેદ 3125 = 5⁵ છે. છેદ 2ⁿ × 5ᵐ સ્વરૂપમાં હોવાથી દશાંશ નિરૂપણ શાંત હશે.
પ્રશ્ન 6: 17/8 ના દશાંશ નિરૂપણમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી કેટલા અંકો આવશે?
જવાબ: 8 = 2³. અહીં મહત્તમ ઘાત 3 હોવાથી દશાંશ ચિહ્ન પછી 3 અંકો આવશે.
પ્રશ્ન 7: બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુ.સા.અ. કેટલો થાય?
જવાબ: કોઈપણ બે ક્રમિક સંખ્યાઓ (જેમ કે 4, 5) નો ગુ.સા.અ. હંમેશા 1 થાય.
પ્રશ્ન 8: સૌથી નાની અવિભાજ્ય અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. લખો.
જવાબ: સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા 2 અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા 4 છે. તેમનો લ.સા.અ. 4 થાય.
પ્રશ્ન 9: શું 6ⁿ નો અંતિમ અંક શૂન્ય હોઈ શકે?
જવાબ: ના, કારણ કે 6 ના અવયવ 2 × 3 છે, જેમાં અવિભાજ્ય અવયવ 5 નથી. શૂન્ય માટે 2 અને 5 બંને હોવા જરૂરી છે.
પ્રશ્ન 10: અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતે 96 અને 404 નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો.
જવાબ: 96 = 2⁵ × 3 અને 404 = 2² × 101.
ગુ.સા.અ. = 2² = 4.
લ.સા.અ. = (96 × 404) / 4 = 9696.
પ્રશ્ન 11: યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી 135 અને 225 નો ગુ.સા.અ. શોધો.
જવાબ: 225 = 135 × 1 + 90
135 = 90 × 1 + 45
90 = 45 × 2 + 0
તેથી, ગુ.સા.અ. = 45.
પ્રશ્ન 12: અવિભાજ્ય અવયવની રીતે 6, 72 અને 120 નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો.
જવાબ: 6 = 2 × 3, 72 = 2³ × 3², 120 = 2³ × 3 × 5.
ગુ.સા.અ. = 2 × 3 = 6.
લ.સા.અ. = 2³ × 3² × 5 = 360.
પ્રશ્ન 13: સોનિયાને એક રાઉન્ડમાં 18 મિનિટ અને રવિને 12 મિનિટ લાગે છે. તેઓ ફરી ક્યારે ભેગા થશે?
જવાબ: 18 અને 12 નો લ.સા.અ. શોધતા: 18 = 2 × 3² અને 12 = 2² × 3.
લ.સા.અ. = 2² × 3² = 36.
તેઓ 36 મિનિટ પછી ફરી ભેગા થશે.
પ્રશ્ન 14: 196 અને 38220 નો ગુ.સા.અ. યુક્લિડની રીતે શોધો.
જવાબ: 38220 = 196 × 195 + 0.
અહીં શેષ 0 છે, માટે ગુ.સા.અ. = 196.
પ્રશ્ન 15: જો લ.સા.અ.(306, 657) = 22338 હોય, તો ગુ.સા.અ. શોધો.
જવાબ: ગુ.સા.અ. = (306 × 657) / 22338 = 9.
પ્રશ્ન 16: સમજાવો કે (7 × 11 × 13 + 13) વિભાજ્ય સંખ્યા કેમ છે?
જવાબ: 13 સામાન્ય લેતા: 13 × (7 × 11 + 1) = 13 × 78. સંખ્યાને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે, તેથી તે વિભાજ્ય છે.
પ્રશ્ન 17: 12, 15 અને 21 નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો.
જવાબ: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7.
ગુ.સા.અ. = 3, લ.સા.અ. = 420.
પ્રશ્ન 18: 616 સભ્યોનું જૂથ 32 સભ્યોના બેન્ડ પાછળ કૂચ કરે તો મહત્તમ કેટલા સ્તંભ બને?
જવાબ: 616 અને 32 નો ગુ.સા.અ. શોધતા: 616 = 32 × 19 + 8; 32 = 8 × 4 + 0.
મહત્તમ 8 સ્તંભ બને.
પ્રશ્ન 19: ભાગાકાર વગર 35/50 નું દશાંશ નિરૂપણ જણાવો.
જવાબ: 35/50 = 7/10 = 0.7. છેદમાં 10 (2 × 5) હોવાથી તે શાંત છે.
🔴 English Medium - Chapter 1: Real Numbers
🎯 What will we learn in this chapter?
Dear students, in this chapter which guarantees full marks in the board exams, we will learn the following key points:
Chapter 1: Real Numbers - What Will We Learn?
This first chapter of Mathematics is the foundation for understanding how numbers behave. It transitions from basic arithmetic to the logical properties of numbers. Below are the key concepts covered in this chapter:
1. Euclid’s Division Lemma and Algorithm:
The chapter begins with a fundamental tool for divisibility. Euclid’s Division Lemma states that for any two positive integers, there is a unique relationship between the dividend, divisor, quotient, and remainder (a = bq + r). We use this "Algorithm" as a step-by-step method to find the HCF (Highest Common Factor) of large numbers efficiently.
2. The Fundamental Theorem of Arithmetic:
This is one of the most important principles in mathematics. It tells us that every composite number can be broken down into a unique product of prime numbers. For example, 30 can only be expressed as 2 × 3 × 5. We learn to use this prime factorization method to calculate both HCF and LCM (Lowest Common Multiple) and understand the relationship between them.
3. Revisiting Irrational Numbers:
While we introduced irrational numbers in earlier grades, this chapter teaches us how to prove their irrationality. We use logical proofs to show why numbers like √2, √3, and √5 cannot be written as simple fractions. This section helps develop mathematical reasoning and proof-writing skills.
4. Rational Numbers and Their Decimal Expansions:
We explore why some fractions turn into "Terminating" decimals (like 0.5) while others become "Non-terminating Repeating" decimals (like 0.333...). The chapter provides a shortcut: by looking at the prime factors of the denominator (q), specifically checking for the 2ⁿ × 5ᵐ form, we can predict the decimal behavior without actually performing long division.
💡 Important Points to Remember (Scoring Points)
This first chapter of Mathematics is the foundation for understanding how numbers behave. It transitions from basic arithmetic to the logical properties of numbers. Below are the key concepts covered in this chapter:
1. Euclid’s Division Lemma and Algorithm:
The chapter begins with a fundamental tool for divisibility. Euclid’s Division Lemma states that for any two positive integers, there is a unique relationship between the dividend, divisor, quotient, and remainder (a = bq + r). We use this "Algorithm" as a step-by-step method to find the HCF (Highest Common Factor) of large numbers efficiently.
2. The Fundamental Theorem of Arithmetic:
This is one of the most important principles in mathematics. It tells us that every composite number can be broken down into a unique product of prime numbers. For example, 30 can only be expressed as 2 × 3 × 5. We learn to use this prime factorization method to calculate both HCF and LCM (Lowest Common Multiple) and understand the relationship between them.
3. Revisiting Irrational Numbers:
While we introduced irrational numbers in earlier grades, this chapter teaches us how to prove their irrationality. We use logical proofs to show why numbers like √2, √3, and √5 cannot be written as simple fractions. This section helps develop mathematical reasoning and proof-writing skills.
4. Rational Numbers and Their Decimal Expansions:
We explore why some fractions turn into "Terminating" decimals (like 0.5) while others become "Non-terminating Repeating" decimals (like 0.333...). The chapter provides a shortcut: by looking at the prime factors of the denominator (q), specifically checking for the 2ⁿ × 5ᵐ form, we can predict the decimal behavior without actually performing long division.
💡 Important Points to Remember (Scoring Points)
Chapter 1: Real Numbers (100 IMP One-Liners)
Introduction to Numbers
The set of counting numbers is called the set of Natural Numbers (N = {1, 2, 3, ...}).
Including zero (0) in natural numbers gives the set of Whole Numbers (W).
The set of Integers (Z) includes positive integers, negative integers, and zero.
A number that can be expressed in the form p/q (where p, q are integers and q ≠ 0) is a Rational Number (Q).
A number that cannot be expressed in p/q form is called an Irrational Number.
Rational and Irrational numbers together form the set of Real Numbers (R).
The smallest natural number is 1.
The smallest whole number is 0.
0 is a rational number.
There are infinitely many rational numbers between any two rational numbers.
Every natural number is a real number, but every real number is not necessarily a natural number.
1 is the multiplicative identity.
0 is the additive identity.
Euclid’s Division Lemma & HCF
14. Euclid’s Division Lemma: For given positive integers a and b, there exist unique integers q and r such that a = bq + r.
15. In a = bq + r, the condition for remainder r is always: 0 ≤ r < b.
16. Formula: Dividend = (Divisor × Quotient) + Remainder.
17. If in a = bq + r, the remainder r = 0, then b is a factor of a.
18. Euclid’s division algorithm is mainly used to find the HCF of two positive integers.
19. HCF (a, b) is the largest positive integer that divides both a and b.
20. The HCF of any two consecutive positive integers is always 1.
21. The HCF of two consecutive even positive integers is 2.
22. The HCF of two consecutive odd positive integers is 1.
23. If a is a factor of b, then HCF(a, b) = a.
24. If a is a factor of b, then LCM(a, b) = b.
25. Euclid’s algorithm is defined only for positive integers.
Fundamental Theorem of Arithmetic & Prime Numbers
26. 1 is neither a prime nor a composite number; it is a unique number.
27. The smallest prime number is 2.
28. 2 is the only even prime number. All other prime numbers are odd.
29. The smallest composite number is 4.
30. Fundamental Theorem of Arithmetic: Every composite number can be expressed as a product of primes uniquely.
31. The prime factorization of a composite number is unique, apart from the order of its factors.
32. If a number ends with the digit 0, it must be divisible by both 2 and 5.
33. 4ⁿ can never end with the digit 0 because its prime factors do not include 5.
34. 6ⁿ can never end with the digit 0 because its prime factors (2 and 3) do not include 5.
35. If p is a prime number, it has only two factors: 1 and p itself.
36. Two numbers having HCF as 1 are called Co-prime numbers.
37. E.g., 15 and 16 are co-prime because HCF(15, 16) = 1.
38. HCF using prime factorization is the product of the smallest power of each common prime factor.
39. LCM using prime factorization is the product of the greatest power of each prime factor involved.
Formulas for HCF and LCM
40. For any two positive integers a and b: HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b.
41. HCF(a, b) = (a × b) / LCM(a, b).
42. LCM(a, b) = (a × b) / HCF(a, b).
43. The LCM of two numbers is always divisible by their HCF.
44. HCF (a, a) = a.
45. LCM (a, a) = a.
46. HCF (a, 1) = 1.
47. LCM (a, 1) = a.
48. For two prime numbers p and q, HCF (p, q) = 1.
49. For two prime numbers p and q, LCM (p, q) = p × q.
50. If HCF (x, y) = 1, then LCM (x, y) = xy.
51. For three numbers: HCF(a, b, c) × LCM(a, b, c) is NOT necessarily equal to a × b × c.
52. The HCF of the smallest prime (2) and smallest composite (4) is 2.
53. The LCM of the smallest prime and smallest composite is 4.
54. HCF can never be greater than the given numbers.
55. LCM can never be smaller than the given numbers.
Rational and Irrational Properties
56. The square root of 2 (√2) is an irrational number.
57. The square root of 3 (√3) is an irrational number.
58. √4 is a rational number because √4 = 2.
59. Pi (π) is an irrational number.
60. 22/7 is a rational number (it is an approximate value of π).
61. The sum of a rational and an irrational number is always irrational (e.g., 2 + √3).
62. The difference between a rational and an irrational number is always irrational.
63. The product of a non-zero rational and an irrational number is irrational (e.g., 3√2).
64. The quotient of a non-zero rational and an irrational number is irrational.
65. The sum of two irrational numbers can be rational (e.g., √2 + (-√2) = 0).
66. The product of two irrational numbers can be rational (e.g., √2 × √2 = 2).
67. Theorem 1.3: If p is a prime and p divides a², then p divides a (where a is a positive integer).
68. The square root of any non-perfect square is irrational.
69. The cube root of 8 is 2, so it is a rational number.
70. Since √5 is irrational, 3 + 2√5 is also irrational.
71. e (Euler's number) is also an irrational number.
72. For any prime p, √p is always irrational.
73. The sum, difference, or product of any two rational numbers is always rational.
Decimal Expansion
74. The decimal expansion of a rational number p/q is either terminating or non-terminating repeating.
75. The decimal expansion of an irrational number is always non-terminating and non-recurring.
76. If the prime factorization of denominator q is of the form 2ⁿ × 5ᵐ, the decimal expansion of p/q is terminating.
77. If q has prime factors other than 2 or 5, the decimal expansion is non-terminating repeating.
78. Always simplify p/q to its lowest terms before checking the denominator's factors.
79. 17/8 has a terminating decimal expansion because 8 = 2³.
80. 17/8 will have 3 decimal places (since the highest power of 2 is 3).
81. 64/455 is non-terminating repeating because 455 = 5 × 7 × 13.
82. Any terminating decimal can be written as p/q where q is a power of 10.
83. Non-terminating repeating decimals (e.g., 0.333...) are rational numbers.
84. 0.121121112... is non-terminating and non-recurring, hence it is irrational.
85. In 2ᵐ × 5ⁿ, the number of decimal places depends on whichever power (m or n) is greater.
86. E.g., 13/125: 125 = 5³, so it has 3 decimal places (0.104).
87. 3/15 is terminating because 3/15 = 1/5 (denominator is 5).
88. 35/50 is terminating (35/50 = 7/10 = 0.7).
89. 77/210 is non-terminating repeating (simplified: 11/30, denominator has factor 3).
90. 129 / (2² × 5⁷ × 7⁵) is non-terminating repeating because of the factor 7⁵.
Miscellaneous Objectives
91. If HCF(x, y) = 15 and Product = 1800, then LCM = 1800 / 15 = 120.
92. For two distinct primes p and q, HCF is always 1.
93. For any natural number n, 12ⁿ never ends with the digit 0.
94. HCF is always a factor of the LCM for the same set of numbers.
95. If HCF of 65 and 117 is expressed as 65m - 117, then m = 2.
96. The product of the smallest prime and smallest composite is 8 (2 × 4).
97. The p/q form of 0.3̅ is 1/3.
98. In mathematics, 0.9̅ is considered equal to 1.
99. We can determine if a fraction is terminating without actual division by looking at the prime factors of the denominator.
📜 Important Examples Asked in Board Exams (Most IMP)
Introduction to Numbers
The set of counting numbers is called the set of Natural Numbers (N = {1, 2, 3, ...}).
Including zero (0) in natural numbers gives the set of Whole Numbers (W).
The set of Integers (Z) includes positive integers, negative integers, and zero.
A number that can be expressed in the form p/q (where p, q are integers and q ≠ 0) is a Rational Number (Q).
A number that cannot be expressed in p/q form is called an Irrational Number.
Rational and Irrational numbers together form the set of Real Numbers (R).
The smallest natural number is 1.
The smallest whole number is 0.
0 is a rational number.
There are infinitely many rational numbers between any two rational numbers.
Every natural number is a real number, but every real number is not necessarily a natural number.
1 is the multiplicative identity.
0 is the additive identity.
Euclid’s Division Lemma & HCF
14. Euclid’s Division Lemma: For given positive integers a and b, there exist unique integers q and r such that a = bq + r.
15. In a = bq + r, the condition for remainder r is always: 0 ≤ r < b.
16. Formula: Dividend = (Divisor × Quotient) + Remainder.
17. If in a = bq + r, the remainder r = 0, then b is a factor of a.
18. Euclid’s division algorithm is mainly used to find the HCF of two positive integers.
19. HCF (a, b) is the largest positive integer that divides both a and b.
20. The HCF of any two consecutive positive integers is always 1.
21. The HCF of two consecutive even positive integers is 2.
22. The HCF of two consecutive odd positive integers is 1.
23. If a is a factor of b, then HCF(a, b) = a.
24. If a is a factor of b, then LCM(a, b) = b.
25. Euclid’s algorithm is defined only for positive integers.
Fundamental Theorem of Arithmetic & Prime Numbers
26. 1 is neither a prime nor a composite number; it is a unique number.
27. The smallest prime number is 2.
28. 2 is the only even prime number. All other prime numbers are odd.
29. The smallest composite number is 4.
30. Fundamental Theorem of Arithmetic: Every composite number can be expressed as a product of primes uniquely.
31. The prime factorization of a composite number is unique, apart from the order of its factors.
32. If a number ends with the digit 0, it must be divisible by both 2 and 5.
33. 4ⁿ can never end with the digit 0 because its prime factors do not include 5.
34. 6ⁿ can never end with the digit 0 because its prime factors (2 and 3) do not include 5.
35. If p is a prime number, it has only two factors: 1 and p itself.
36. Two numbers having HCF as 1 are called Co-prime numbers.
37. E.g., 15 and 16 are co-prime because HCF(15, 16) = 1.
38. HCF using prime factorization is the product of the smallest power of each common prime factor.
39. LCM using prime factorization is the product of the greatest power of each prime factor involved.
Formulas for HCF and LCM
40. For any two positive integers a and b: HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b.
41. HCF(a, b) = (a × b) / LCM(a, b).
42. LCM(a, b) = (a × b) / HCF(a, b).
43. The LCM of two numbers is always divisible by their HCF.
44. HCF (a, a) = a.
45. LCM (a, a) = a.
46. HCF (a, 1) = 1.
47. LCM (a, 1) = a.
48. For two prime numbers p and q, HCF (p, q) = 1.
49. For two prime numbers p and q, LCM (p, q) = p × q.
50. If HCF (x, y) = 1, then LCM (x, y) = xy.
51. For three numbers: HCF(a, b, c) × LCM(a, b, c) is NOT necessarily equal to a × b × c.
52. The HCF of the smallest prime (2) and smallest composite (4) is 2.
53. The LCM of the smallest prime and smallest composite is 4.
54. HCF can never be greater than the given numbers.
55. LCM can never be smaller than the given numbers.
Rational and Irrational Properties
56. The square root of 2 (√2) is an irrational number.
57. The square root of 3 (√3) is an irrational number.
58. √4 is a rational number because √4 = 2.
59. Pi (π) is an irrational number.
60. 22/7 is a rational number (it is an approximate value of π).
61. The sum of a rational and an irrational number is always irrational (e.g., 2 + √3).
62. The difference between a rational and an irrational number is always irrational.
63. The product of a non-zero rational and an irrational number is irrational (e.g., 3√2).
64. The quotient of a non-zero rational and an irrational number is irrational.
65. The sum of two irrational numbers can be rational (e.g., √2 + (-√2) = 0).
66. The product of two irrational numbers can be rational (e.g., √2 × √2 = 2).
67. Theorem 1.3: If p is a prime and p divides a², then p divides a (where a is a positive integer).
68. The square root of any non-perfect square is irrational.
69. The cube root of 8 is 2, so it is a rational number.
70. Since √5 is irrational, 3 + 2√5 is also irrational.
71. e (Euler's number) is also an irrational number.
72. For any prime p, √p is always irrational.
73. The sum, difference, or product of any two rational numbers is always rational.
Decimal Expansion
74. The decimal expansion of a rational number p/q is either terminating or non-terminating repeating.
75. The decimal expansion of an irrational number is always non-terminating and non-recurring.
76. If the prime factorization of denominator q is of the form 2ⁿ × 5ᵐ, the decimal expansion of p/q is terminating.
77. If q has prime factors other than 2 or 5, the decimal expansion is non-terminating repeating.
78. Always simplify p/q to its lowest terms before checking the denominator's factors.
79. 17/8 has a terminating decimal expansion because 8 = 2³.
80. 17/8 will have 3 decimal places (since the highest power of 2 is 3).
81. 64/455 is non-terminating repeating because 455 = 5 × 7 × 13.
82. Any terminating decimal can be written as p/q where q is a power of 10.
83. Non-terminating repeating decimals (e.g., 0.333...) are rational numbers.
84. 0.121121112... is non-terminating and non-recurring, hence it is irrational.
85. In 2ᵐ × 5ⁿ, the number of decimal places depends on whichever power (m or n) is greater.
86. E.g., 13/125: 125 = 5³, so it has 3 decimal places (0.104).
87. 3/15 is terminating because 3/15 = 1/5 (denominator is 5).
88. 35/50 is terminating (35/50 = 7/10 = 0.7).
89. 77/210 is non-terminating repeating (simplified: 11/30, denominator has factor 3).
90. 129 / (2² × 5⁷ × 7⁵) is non-terminating repeating because of the factor 7⁵.
Miscellaneous Objectives
91. If HCF(x, y) = 15 and Product = 1800, then LCM = 1800 / 15 = 120.
92. For two distinct primes p and q, HCF is always 1.
93. For any natural number n, 12ⁿ never ends with the digit 0.
94. HCF is always a factor of the LCM for the same set of numbers.
95. If HCF of 65 and 117 is expressed as 65m - 117, then m = 2.
96. The product of the smallest prime and smallest composite is 8 (2 × 4).
97. The p/q form of 0.3̅ is 1/3.
98. In mathematics, 0.9̅ is considered equal to 1.
99. We can determine if a fraction is terminating without actual division by looking at the prime factors of the denominator.
📜 Important Examples Asked in Board Exams (Most IMP)
GSEB Std 10 Maths Chapter 1: Real Numbers (IMP Questions with Answers)
Question 1: In Euclid’s division lemma a = bq + r, if a = 73 and b = 9, find q and r.
Answer: 73 = 9 × 8 + 1 (Dividing 73 by 9 gives quotient 8 and remainder 1).
Therefore, q = 8 and r = 1.
Question 2: Find the HCF and LCM of 15 and 35.
Answer: 15 = 3 × 5 and 35 = 7 × 5.
HCF = 5 (Common factor)
LCM = 5 × 3 × 7 = 105.
Question 3: If HCF(25, 15) = 5, then find LCM(25, 15).
Answer: According to the formula: HCF × LCM = Product of numbers
5 × LCM = 25 × 15
LCM = 375 / 5 = 75.
Question 4: Express 156 as a product of its prime factors.
Answer: 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13.
Question 5: What kind of decimal expansion does the rational number 13/3125 have?
Answer: Denominator 3125 = 5⁵. Since the denominator is in the form 2ⁿ × 5ᵐ, the decimal expansion is Terminating.
Question 6: How many decimal places will 17/8 have in its decimal expansion?
Answer: 8 = 2³. Since the highest power is 3, it will have 3 decimal places.
Question 7: What is the HCF of any two consecutive positive integers?
Answer: The HCF of any two consecutive numbers (like 4, 5) is always 1.
Question 8: Find the LCM of the smallest prime number and the smallest composite number.
Answer: The smallest prime number is 2 and the smallest composite number is 4. Their LCM is 4.
Question 9: Can 6ⁿ end with the digit zero?
Answer: No, because the factors of 6 are 2 × 3, which does not include the prime factor 5. For a number to end in zero, both 2 and 5 are necessary as factors.
Question 10: Find the HCF and LCM of 96 and 404 by the prime factorization method.
Answer: 96 = 2⁵ × 3 and 404 = 2² × 101.
HCF = 2² = 4.
LCM = (96 × 404) / 4 = 9696.
Question 11: Use Euclid’s division algorithm to find the HCF of 135 and 225.
Answer: 225 = 135 × 1 + 90
135 = 90 × 1 + 45
90 = 45 × 2 + 0
Therefore, HCF = 45.
Question 12: Find the HCF and LCM of 6, 72, and 120 using prime factorization.
Answer: 6 = 2 × 3, 72 = 2³ × 3², 120 = 2³ × 3 × 5.
HCF = 2 × 3 = 6.
LCM = 2³ × 3² × 5 = 360.
Question 13: Sonia takes 18 minutes for one round and Ravi takes 12 minutes. When will they meet again?
Answer: Finding the LCM of 18 and 12: 18 = 2 × 3² and 12 = 2² × 3.
LCM = 2² × 3² = 36.
They will meet again after 36 minutes.
Question 14: Find the HCF of 196 and 38220 using Euclid’s algorithm.
Answer: 38220 = 196 × 195 + 0.
Since the remainder is 0, HCF = 196.
Question 15: Given that LCM(306, 657) = 22338, find the HCF.
Answer: HCF = (306 × 657) / 22338 = 9.
Question 16: Explain why (7 × 11 × 13 + 13) is a composite number.
Answer: Taking 13 as a common factor: 13 × (7 × 11 + 1) = 13 × 78. Since the number can be expressed as a product of prime factors, it is composite.
Question 17: Find the HCF and LCM of 12, 15, and 21.
Answer: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7.
HCF = 3, LCM = 420.
Question 18: An army contingent of 616 members is to march behind a band of 32 members. What is the maximum number of columns?
Answer: Finding HCF of 616 and 32: 616 = 32 × 19 + 8; 32 = 8 × 4 + 0.
The maximum number of columns is 8.
Question 19: State the decimal expansion of 35/50 without long division.
Answer: 35/50 = 7/10 = 0.7. Since the denominator is 10 (2 × 5), it is terminating.
Answer: 73 = 9 × 8 + 1 (Dividing 73 by 9 gives quotient 8 and remainder 1).
Therefore, q = 8 and r = 1.
Question 2: Find the HCF and LCM of 15 and 35.
Answer: 15 = 3 × 5 and 35 = 7 × 5.
HCF = 5 (Common factor)
LCM = 5 × 3 × 7 = 105.
Question 3: If HCF(25, 15) = 5, then find LCM(25, 15).
Answer: According to the formula: HCF × LCM = Product of numbers
5 × LCM = 25 × 15
LCM = 375 / 5 = 75.
Question 4: Express 156 as a product of its prime factors.
Answer: 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13.
Question 5: What kind of decimal expansion does the rational number 13/3125 have?
Answer: Denominator 3125 = 5⁵. Since the denominator is in the form 2ⁿ × 5ᵐ, the decimal expansion is Terminating.
Question 6: How many decimal places will 17/8 have in its decimal expansion?
Answer: 8 = 2³. Since the highest power is 3, it will have 3 decimal places.
Question 7: What is the HCF of any two consecutive positive integers?
Answer: The HCF of any two consecutive numbers (like 4, 5) is always 1.
Question 8: Find the LCM of the smallest prime number and the smallest composite number.
Answer: The smallest prime number is 2 and the smallest composite number is 4. Their LCM is 4.
Question 9: Can 6ⁿ end with the digit zero?
Answer: No, because the factors of 6 are 2 × 3, which does not include the prime factor 5. For a number to end in zero, both 2 and 5 are necessary as factors.
Question 10: Find the HCF and LCM of 96 and 404 by the prime factorization method.
Answer: 96 = 2⁵ × 3 and 404 = 2² × 101.
HCF = 2² = 4.
LCM = (96 × 404) / 4 = 9696.
Question 11: Use Euclid’s division algorithm to find the HCF of 135 and 225.
Answer: 225 = 135 × 1 + 90
135 = 90 × 1 + 45
90 = 45 × 2 + 0
Therefore, HCF = 45.
Question 12: Find the HCF and LCM of 6, 72, and 120 using prime factorization.
Answer: 6 = 2 × 3, 72 = 2³ × 3², 120 = 2³ × 3 × 5.
HCF = 2 × 3 = 6.
LCM = 2³ × 3² × 5 = 360.
Question 13: Sonia takes 18 minutes for one round and Ravi takes 12 minutes. When will they meet again?
Answer: Finding the LCM of 18 and 12: 18 = 2 × 3² and 12 = 2² × 3.
LCM = 2² × 3² = 36.
They will meet again after 36 minutes.
Question 14: Find the HCF of 196 and 38220 using Euclid’s algorithm.
Answer: 38220 = 196 × 195 + 0.
Since the remainder is 0, HCF = 196.
Question 15: Given that LCM(306, 657) = 22338, find the HCF.
Answer: HCF = (306 × 657) / 22338 = 9.
Question 16: Explain why (7 × 11 × 13 + 13) is a composite number.
Answer: Taking 13 as a common factor: 13 × (7 × 11 + 1) = 13 × 78. Since the number can be expressed as a product of prime factors, it is composite.
Question 17: Find the HCF and LCM of 12, 15, and 21.
Answer: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7.
HCF = 3, LCM = 420.
Question 18: An army contingent of 616 members is to march behind a band of 32 members. What is the maximum number of columns?
Answer: Finding HCF of 616 and 32: 616 = 32 × 19 + 8; 32 = 8 × 4 + 0.
The maximum number of columns is 8.
Question 19: State the decimal expansion of 35/50 without long division.
Answer: 35/50 = 7/10 = 0.7. Since the denominator is 10 (2 × 5), it is terminating.
📢 નવી અપડેટ ટૂંક સમયમાં!
✨ નવીનતમ અપડેટ્સ મેળવવા માટે આ વેબસાઇટની ફરીથી મુલાકાત લેતા રહો!
— રાજેશ પટેલ ગ્રુપ ટ્યુશન @9173040050
વિદ્યાર્થી મિત્રો, આશા છે કે આ ઇન્ટરેક્ટિવ ઓનલાઇન ટેસ્ટ દ્વારા તમને સંભાવના (Probability) પ્રકરણના મહત્વના ખરાં-ખોટાં સમજવામાં અને રિવિઝન કરવામાં ઘણી મદદ મળી હશે. યાદ રાખવા જેવી બાબતો: સંભાવના એ ગણિતનું સૌથી સરળ અને રોકડિયા માર્ક્સ અપાવતું પ્રકરણ છે. બોર્ડની પરીક્ષામાં સમય બચાવવા માટે આવા ટૂંકા પ્રશ્નોની પ્રેક્ટિસ ખૂબ જરૂરી છે. જો કોઈ પ્રશ્નમાં ભૂલ પડી હોય, તો ગભરાશો નહીં, ફરીથી ટેસ્ટ આપીને તમારું જ્ઞાન પાકું કરો.
⚠️ ડિસ્ક્લેમર (Disclaimer):
- આ બ્લોગ પોસ્ટમાં આપવામાં આવેલી તમામ વિગતો અને ક્વિઝ માત્ર વિદ્યાર્થીઓના શૈક્ષણિક હેતુ અને પ્રેક્ટિસ માટે તૈયાર કરવામાં આવી છે.
- અમે માહિતીની ચોકસાઈ જાળવવાનો પૂરો પ્રયત્ન કર્યો છે, છતાં કોઈપણ માનવીય ભૂલ હોઈ શકે છે. વિદ્યાર્થીઓને વિનંતી કે સત્તાવાર પાઠ્યપુસ્તક સાથે પણ વિગતો ચકાસી લેવી.
- આ ક્વિઝના પ્રશ્નો રાજેશ પટેલ ગ્રુપ ટ્યુશન દ્વારા બોર્ડની પરીક્ષાની પદ્ધતિ મુજબ તૈયાર કરેલા છે.
- આ કન્ટેન્ટનો ઉપયોગ શૈક્ષણિક હેતુ માટે કરી શકાય છે.
- iCanHow Team
🛡️ પ્રાઇવસી પોલિસી (Privacy Policy)
અમે તમારા ડેટાની સુરક્ષાને મહત્વ આપીએ છીએ. iCanHow બ્લોગ પર તમારી પ્રાઇવસી બાબતે નીચેની બાબતો ધ્યાનમાં લેવી:
- ડેટા કલેક્શન: આ બ્લોગ પરની ઇન્ટરેક્ટિવ ટેસ્ટના પરિણામો માત્ર તમારા બ્રાઉઝરમાં જ દેખાય છે. અમે કોઈ પણ વિદ્યાર્થીની વ્યક્તિગત વિગતો સર્વર પર સંગ્રહિત કરતા નથી.
- કુકીઝ (Cookies): ગૂગલ બ્લોગર (Blogger) હોવાથી, યુઝરના અનુભવને સુધારવા માટે ગૂગલ દ્વારા કુકીઝનો ઉપયોગ કરવામાં આવી શકે છે.
- બાહ્ય લિંક્સ: આ બ્લોગમાં રાજેશ પટેલ ગ્રુપ ટ્યુશન ના વોટ્સએપ ગ્રુપ કે અન્ય શૈક્ષણિક વેબસાઇટ્સની લિંક્સ હોઈ શકે છે. તે વેબસાઇટ્સની પોલિસી અલગ હોઈ શકે છે જેની અમે ખાતરી આપતા નથી.
- વિદ્યાર્થીઓની સુરક્ષા: આ પ્લેટફોર્મ મુખ્યત્વે ધોરણ 10 ના વિદ્યાર્થીઓ માટે છે, તેથી અમે સુરક્ષિત અને શૈક્ષણિક વાતાવરણ જાળવવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ.
- સંપર્ક: જો તમને પ્રાઇવસી બાબતે કોઈ પ્રશ્ન હોય, તો તમે અમારો સંપર્ક કરી શકો છો.
તમારો વિશ્વાસ એ અમારી પ્રાથમિકતા છે. 🙏
🎯 Board Exam Special: Ultimate MCQ Test for ગુજરાતી માધ્યમ and English Medium
ધોરણ 10: સંપૂર્ણ ઇન્ટરેક્ટિવ ઓનલાઇન ક્વિઝ
🎯 Mission Board 2027
Rajesh Patel Group Tuition
૧. સ્ટુડન્ટ આઈડી (Student ID)
(નોંધ: તમારા સ્ટુડન્ટ આઈડી (Student ID) જ ID તરીકે ઉપયોગ કરો)
📢 વોટ્સએપ ગ્રુપમાં જોડાવા અહીં ક્લિક કરો
વધુ માહિતી માટે મુલાકાત લો: I Can How
Posts
0 Comments