GSEB Class 8-10 Maths: 4 Main Nityasam (Identities) ane Practice Questions with Answers in Gujarati

Algebraic Expressions: Ekpadi ane Dwipadi no Gunakar (Multiplication) Rules and 10+ Examples

બીજગણિતીય પદાવલિઓના ગુણાકારના નિયમો - એકપદી અને દ્વિપદી (Rajesh Patel Group Tuition)

ગણિતમાં વિસ્તરણ (Expansion) એટલે કોઈ પદાવલિના કૌંસને ખોલીને તેને સાદું સ્વરૂપ આપવું. જ્યારે કોઈ એકપદી કે દ્વિપદીનો બીજી પદાવલિ સાથે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે જે પ્રક્રિયા થાય છે તેને 'વિસ્તરણ' કહેવાય છે.

સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, ગુણાકાર કરી કૌંસ દૂર કરવાની ક્રિયાને વિસ્તરણ કહે છે.

વિસ્તરણ એટલે શું? (What is Expansion?)

ગણિતમાં વિસ્તરણ એટલે આપેલી પદાવલિના કૌંસને ગુણાકારની મદદથી ખોલીને તેને સાદા સ્વરૂપમાં ફેરવવાની પ્રક્રિયા. જ્યારે આપણે કોઈ સંખ્યા કે ચલનો કૌંસ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ, ત્યારે તે કૌંસના દરેક પદ સાથે ગુણાય છે, જેને આપણે 'વિસ્તરણ કર્યું' તેમ કહીએ છીએ.

વિસ્તરણનો મુખ્ય નિયમ:

a(b + c) = ab + ac

અહીં બહાર રહેલું પદ 'a' એ કૌંસના પદ 'b' અને 'c' બંને સાથે વારાફરતી ગુણાય છે.

વિસ્તરણના ઉદાહરણો:

ઉદાહરણ ૧: એકપદીનું દ્વિપદી સાથે વિસ્તરણ

• રકમ: 4x(x + 5)

• ગણતરી: (4x × x) + (4x × 5)

• જવાબ: 4x² + 20x

• સમજૂતી: 4x ને પહેલા x સાથે ગુણતા 4x² મળ્યા અને પછી 5 સાથે ગુણતા 20x મળ્યા.

ઉદાહરણ ૨: દ્વિપદીનું દ્વિપદી સાથે વિસ્તરણ

• રકમ: (x + 2)(x + 3)

• ગણતરી: x(x + 3) + 2(x + 3)

• સ્ટેપ ૨: (x² + 3x) + (2x + 6)

• જવાબ: x² + 5x + 6

• સમજૂતી: અહીં 3x અને 2x સજાતીય પદો હોવાથી તેનો સરવાળો 5x થયો.

---

વિસ્તરણના ખાસ સૂત્રો (નિત્યસમ):

ગણિતમાં ગણતરી ઝડપી બનાવવા નીચેના સૂત્રો (Expansion Formulas) યાદ રાખવા ખૂબ જરૂરી છે:

૧. (a + b)² = a² + 2ab + b²

• દાખલા તરીકે: (x + 4)² = x² + 8x + 16

૨. (a - b)² = a² - 2ab + b²

• દાખલા તરીકે: (y - 5)² = y² - 10y + 25

૩. (a + b)(a - b) = a² - b²

• દાખલા તરીકે: (x + 3)(x - 3) = x² - 9

---

શિક્ષક નોંધ:

વિસ્તરણ કરતી વખતે હંમેશા નિશાનીઓનું ધ્યાન રાખવું. જો કૌંસની બહાર માઈનસ (-) હોય, તો કૌંસ ખોલતી વખતે અંદરના પદોની નિશાની બદલાઈ જાય છે.

ગણિત તો રાજુભાઈનું જ... (રાજેશ પટેલ ગ્રુપ ટ્યુશન)

---

યાદ રાખો:

• વિસ્તરણ એ ગુણાકારની પ્રક્રિયા છે.

• તેનાથી કૌંસ દૂર થાય છે.

• વિસ્તરણ કર્યા પછી સજાતીય પદો (જેમ કે $x$ વાળા પદો) નો સરવાળો કે બાદબાકી કરવી જરૂરી છે જેથી છેલ્લો જવાબ મળે.

એકપદીનો એકપદી સાથે ગુણાકાર (Monomial Multiplication)

જ્યારે બે એકપદીનો ગુણાકાર કરવાનો હોય ત્યારે સહગુણકોનો ગુણાકાર થાય છે અને સમાન ચલની ઘાતનો સરવાળો થાય છે.

૧૦ ઉદાહરણો સમજૂતી સાથે:

૧. 3x અને 5x નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (3 × 5) × (x × x)

• જવાબ: 15x²

• સમજૂતી: 3 પંચા 15 અને x ની 1+1 એટલે x નો વર્ગ (x²) થયો.

૨. 4a અને 2b નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (4 × 2) × (a × b)

• જવાબ: 8ab

• સમજૂતી: અહીં ચલ અલગ હોવાથી માત્ર સાથે લખાશે.

૩. 6x² અને 3x નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (6 × 3) × (x² × x¹)

• જવાબ: 18x³

• સમજૂતી: 2 ઘાત અને 1 ઘાતનો સરવાળો થતા x ની 3 ઘાત (x³) થશે.

૪. -2y અને 7y નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (-2 × 7) × (y × y)

• જવાબ: -14y²

• સમજૂતી: માઈનસ અને પ્લસનો ગુણાકાર હંમેશા માઈનસ (-) આવે.

૫. 5ab અને 3a નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (5 × 3) × (a × a) × b

• જવાબ: 15a²b

• સમજૂતી: અહીં 'a' બે વાર હોવાથી a² થયો, 'b' એક જ વાર હોવાથી તેમ જ રહેશે.

૬. 10p² અને 4q² નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (10 × 4) × p² × q²

• જવાબ: 40p²q²

• સમજૂતી: બંને ચલ અલગ છે, એટલે ઘાતનો સરવાળો નહીં થાય.

૭. -3m અને -4m નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (-3 × -4) × (m × m)

• જવાબ: 12m²

• સમજૂતી: બે માઈનસ સંખ્યાનો ગુણાકાર પ્લસ (+) થઈ જાય.

૮. 2xy અને 5yz નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (2 × 5) × x × (y × y) × z

• જવાબ: 10xy²z

• સમજૂતી: અહીં 'y' બે વખત હોવાથી y² આવશે.

૯. 4x³ અને 2x² નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (4 × 2) × (x³ × x²)

• જવાબ: 8x⁵

• સમજૂતી: ઘાતનો સરવાળો: 3 + 2 = 5 ઘાત (x⁵).

૧૦. 9ab અને 0 નો ગુણાકાર

• ગણતરી: 9 × 0 × ab

• જવાબ: 0

• સમજૂતી: શૂન્ય સાથે કોઈપણ સંખ્યા કે પદ ગુણાય એટલે જવાબ હંમેશા 0 જ આવે.

એકપદીનો દ્વિપદી સાથે ગુણાકાર (Monomial x Binomial): 

જ્યારે એકપદીનો ગુણાકાર દ્વિપદી સાથે કરવામાં આવે ત્યારે કૌંસની બહારની એકપદીને કૌંસના બંને પદો સાથે વારાફરતી ગુણવામાં આવે છે.

નિયમ: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

૧૦ ઉદાહરણો સમજૂતી સાથે:

૧. 3x અને (2x + 5) નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (3x × 2x) + (3x × 5)

• જવાબ: 6x² + 15x

• સમજૂતી: પહેલા 3x ને 2x સાથે ગુણતા 6x² મળ્યા અને પછી 3x ને 5 સાથે ગુણતા 15x મળ્યા.

૨. 4a અને (a - 3b) નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (4a × a) - (4a × 3b)

• જવાબ: 4a² - 12ab

• સમજૂતી: 4a નો 'a' સાથે ગુણાકાર 4a² અને 3b સાથે 12ab થાય. વચ્ચે માઈનસની નિશાની એમનેમ રહેશે.

૩. 5y અને (2y² + 4y) નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (5y × 2y²) + (5y × 4y)

• જવાબ: 10y³ + 20y²

• સમજૂતી: અહીં ઘાતનો સરવાળો થયો (1+2=3 અને 1+1=2).

૪. 2ab અને (a + b) નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (2ab × a) + (2ab × b)

• જવાબ: 2a²b + 2ab²

• સમજૂતી: જ્યારે 'a' સાથે ગુણાય ત્યારે a નો વર્ગ થાય અને 'b' સાથે ગુણાય ત્યારે b નો વર્ગ થાય.

૫. -3x અને (x - 4) નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (-3x × x) + (-3x × -4)

• જવાબ: -3x² + 12x

• સમજૂતી: ખાસ ધ્યાન રાખો, -3x અને -4 નો ગુણાકાર પ્લસ (+) 12x થઈ જશે.

૬. 7p અને (p² - 5q) નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (7p × p²) - (7p × 5q)

• જવાબ: 7p³ - 35pq

૭. 10 અને (2x + 3y) નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (10 × 2x) + (10 × 3y)

• જવાબ: 20x + 30y

• સમજૂતી: અહીં બહાર માત્ર સંખ્યા હોવાથી અંદરના સહગુણકો સાથે જ ગુણાકાર થયો.

૮. x² અને (x³ + 2x) નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (x² × x³) + (x² × 2x)

• જવાબ: x⁵ + 2x³

• સમજૂતી: ઘાતાંકના નિયમ મુજબ ઘાતનો સરવાળો થયો (2+3=5 અને 2+1=3).

૯. 4m અને (3m - 2n) નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (4m × 3m) - (4m × 2n)

• જવાબ: 12m² - 8mn

૧૦. 0.5x અને (4x + 10) નો ગુણાકાર

• ગણતરી: (0.5x × 4x) + (0.5x × 10)

• જવાબ: 2x² + 5x

• સમજૂતી: 4 ના અડધા 2 અને 10 ના અડધા 5 થાય.

દ્વિપદીના ગુણાકાર માટેના ૪ મુખ્ય સૂત્રો (Identities)

જ્યારે બે દ્વિપદીનો ગુણાકાર કરવાનો હોય ત્યારે નીચેના સૂત્રોની મદદથી ગણતરી ખૂબ જ ઝડપી અને સરળ બને છે:

૧. પ્રથમ નિત્યસમ (વર્ગનું સૂત્ર - પ્લસ માટે)

જો બંને પદોનો સરવાળો હોય અને તેનો વર્ગ કરવાનો હોય:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

• સમજૂતી: પ્રથમ પદનો વર્ગ + 2 × (પ્રથમ પદ) × (બીજું પદ) + બીજા પદનો વર્ગ.

૨. દ્વિતીય નિત્યસમ (વર્ગનું સૂત્ર - માઈનસ માટે)

જો બે પદની બાદબાકી હોય અને તેનો વર્ગ કરવાનો હોય:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

• સમજૂતી: પ્રથમ પદનો વર્ગ - 2 × (પ્રથમ પદ) × (બીજું પદ) + બીજા પદનો વર્ગ.

૩. તૃતીય નિત્યસમ (તફાવતની રીત)

જો એક કૌંસમાં પ્લસ અને બીજામાં માઈનસ હોય (પદો સમાન હોય):

(a + b) (a - b) = a² - b²

• સમજૂતી: જ્યારે પદો સમાન હોય પણ નિશાની અલગ હોય, ત્યારે જવાબ (પ્રથમ પદનો વર્ગ) - (બીજા પદનો વર્ગ) થાય.

૪. ચતુર્થ નિત્યસમ (સામાન્ય પ્રથમ પદ)

જ્યારે બંને કૌંસનું પહેલું પદ સમાન હોય પણ બીજું પદ અલગ હોય:

(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab

• સમજૂતી: પ્રથમ પદનો વર્ગ + (બીજા બંને પદોનો સરવાળો) × x + (બીજા બંને પદોનો ગુણાકાર).

12345678

📐 Basic Maths શીખવા માટે અહીં ક્લિક કરો

નિત્યસમ ૧: (a + b)² = a² + 2ab + b²

૧. (x + 3)²

• ગણતરી: (x)² + 2(x)(3) + (3)²

• જવાબ: x² + 6x + 9

૨. (2x + 5)²

• ગણતરી: (2x)² + 2(2x)(5) + (5)²

• જવાબ: 4x² + 20x + 25

૩. (3a + 4b)²

• ગણતરી: (3a)² + 2(3a)(4b) + (4b)²

• જવાબ: 9a² + 24ab + 16b²

૪. (5y + 2)²

• ગણતરી: (5y)² + 2(5y)(2) + (2)²

• જવાબ: 25y² + 20y + 4

૫. (101)² = (100 + 1)²

• ગણતરી: (100)² + 2(100)(1) + (1)² = 10000 + 200 + 1

• જવાબ: 10201

નિત્યસમ ૨: (a - b)² = a² - 2ab + b²

૧. (x - 5)²

• ગણતરી: (x)² - 2(x)(5) + (5)²

• જવાબ: x² - 10x + 25

૨. (3p - 2)²

• ગણતરી: (3p)² - 2(3p)(2) + (2)²

• જવાબ: 9p² - 12p + 4

૩. (4x - y)²

• ગણતરી: (4x)² - 2(4x)(y) + (y)²

• જવાબ: 16x² - 8xy + y²

૪. (2a - 3b)²

• ગણતરી: (2a)² - 2(2a)(3b) + (3b)²

• જવાબ: 4a² - 12ab + 9b²

૫. (99)² = (100 - 1)²

• ગણતરી: (100)² - 2(100)(1) + (1)² = 10000 - 200 + 1

• જવાબ: 9801

નિત્યસમ ૩: (a + b)(a - b) = a² - b²

૧. (x + 4)(x - 4)

• ગણતરી: (x)² - (4)²

• જવાબ: x² - 16

૨. (3a + 2)(3a - 2)

• ગણતરી: (3a)² - (2)²

• જવાબ: 9a² - 4

૩. (5x + 3y)(5x - 3y)

• ગણતરી: (5x)² - (3y)²

• જવાબ: 25x² - 9y²

૪. (10 + p)(10 - p)

• ગણતરી: (10)² - (p)²

• જવાબ: 100 - p²

૫. (52 × 48) = (50 + 2)(50 - 2)

• ગણતરી: (50)² - (2)² = 2500 - 4

• જવાબ: 2496

નિત્યસમ ૪: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

૧. (x + 3)(x + 2)

• ગણતરી: x² + (3 + 2)x + (3 × 2)

• જવાબ: x² + 5x + 6

૨. (x + 5)(x + 7)

• ગણતરી: x² + (5 + 7)x + (5 × 7)

• જવાબ: x² + 12x + 35

૩. (x - 4)(x - 2)

• ગણતરી: x² + (-4 - 2)x + (-4 × -2)

• જવાબ: x² - 6x + 8

૪. (x + 6)(x - 4)

• ગણતરી: x² + (6 - 4)x + (6 × -4)

• જવાબ: x² + 2x - 24

૫. (103 × 104) = (100 + 3)(100 + 4)

• ગણતરી: 100² + (3 + 4)100 + (3 × 4) = 10000 + 700 + 12

• જવાબ: 10712

🚀 ઉપયોગી વધુ પોસ્ટ વાંચવા માટે અહીં ક્લિક કરો, મિત્રોને મોકલો.

 તમારી પ્રેક્ટિસ માટે એકપદી અને દ્વિપદીના ગુણાકારના ૨૫ પ્રશ્નો નીચે મુજબ છે. તમે પહેલા જાતે ગણવાનો પ્રયત્ન કરજો અને પછી નીચે આપેલા જવાબો સાથે ચકાસજો.

પ્રેક્ટિસ પ્રશ્નો (Practice Questions)

વિભાગ A: એકપદીનો એકપદી સાથે ગુણાકાર

1. 5x × 4x

2. -3a × 6a

3. 2ab × 5b

4. 10m² × 3m

5. 8xy × (-2x)

6. 4p² × 3q²

7. -7x² × (-2x)

8. 0.5a × 10a

9. 12xyz × 0

10. 9x³ × 2x²

વિભાગ B: એકપદીનો દ્વિપદી સાથે ગુણાકાર

11. 2x (3x + 4)

12. 5a (2a - 5)

13. -3y (y + 6)

14. 4m (m² - 3n)

15. 10 (2x + 5y)

16. x² (x³ + 2x)

17. 6ab (a + b)

18. 3p (4p² - 2)

19. -2x (x - 8)

20. 5 (x² + 3x)

વિભાગ C: નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકાર

21. (x + 4)²

22. (a - 3)²

23. (x + 5)(x - 5)

24. (2x + 3)²

25. (x + 2)(x + 3)

જવાબો અને સમજૂતી (Answers with Explanation)

૧. 20x² (5 × 4 = 20 અને x¹⁺¹ = x²)

૨. -18a² (માઈનસ × પ્લસ = માઈનસ)

૩. 10ab² (b બે વાર હોવાથી b² થયો)

૪. 30m³ (2 + 1 = 3 ઘાત)

૫. -16x²y (x બે વાર હોવાથી x² થયો)

૬. 12p²q² (ચલ અલગ હોવાથી સાથે લખાશે)

૭. 14x³ (બે માઈનસનો ગુણાકાર પ્લસ થાય)

૮. 5a² (10 ના અડધા 5 થાય)

૯. 0 (શૂન્ય સાથે ગુણાકાર હંમેશા 0 જ આવે)

૧૦. 18x⁵ (3 + 2 = 5 ઘાત)

૧૧. 6x² + 8x (2x ને 3x અને 4 બંને સાથે ગુણતા)

૧૨. 10a² - 25a (5a × 2a = 10a² અને 5a × 5 = 25a)

૧૩. -3y² - 18y (બહાર માઈનસ હોવાથી અંદરની નિશાની બદલાઈ)

૧૪. 4m³ - 12mn (4m × m² = 4m³)

૧૫. 20x + 50y (માત્ર સંખ્યાનો અંદરના પદો સાથે ગુણાકાર)

૧૬. x⁵ + 2x³ (ઘાતનો સરવાળો થયો: 2+3=5 અને 2+1=3)

૧૭. 6a²b + 6ab² (પહેલા a સાથે પછી b સાથે ગુણાકાર)

૧૮. 12p³ - 6p (3p × 4p² = 12p³)

૧૯. -2x² + 16x (ખાસ નોંધ: -2x × -8 = +16x)

૨૦. 5x² + 15x (5 નો અંદરના બંને પદો સાથે ગુણાકાર)

૨૧. x² + 8x + 16 (નિત્યસમ 1: a² + 2ab + b²)

૨૨. a² - 6a + 9 (નિત્યસમ 2: a² - 2ab + b²)

૨૩. x² - 25 (નિત્યસમ 3: a² - b²)

૨૪. 4x² + 12x + 9 [(2x)² + 2(2x)(3) + 3²]

૨૫. x² + 5x + 6 (નિત્યસમ 4: x² + (2+3)x + 2×3)

નિષ્કર્ષ (Conclusion)

આમ, બેઝિક ગણિતમાં એકપદી અને દ્વિપદીના ગુણાકારના નિયમો સમજવા ખૂબ જ જરૂરી છે. જો તમે સહગુણકોના ગુણાકાર અને ઘાતાંકના સરવાળાના નિયમોને બરાબર સમજી લો, તો ગણિતના જટિલ દાખલાઓ પણ સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. આ પોસ્ટમાં આપેલા ઉદાહરણો અને પ્રેક્ટિસ ક્વિઝ તમને આ પ્રકરણ પર મજબૂત પકડ બનાવવામાં મદદરૂપ થશે. ગણિત એ સતત મહાવરાનો વિષય છે, તેથી નિયમિત પ્રેક્ટિસ કરતા રહો.

વારંવાર પૂછાતા પ્રશ્નો (FAQ)

૧. એકપદી એટલે શું?

જે પદાવલિમાં માત્ર એક જ પદ હોય તેને એકપદી (Monomial) કહેવામાં આવે છે. દા.ત. 3x, 5ab, -7.

૨. ગુણાકાર કરતી વખતે ઘાતનો શું નિયમ છે?

જ્યારે સમાન ચલનો ગુણાકાર થાય ત્યારે તેની ઘાતનો સરવાળો કરવામાં આવે છે. જેમ કે, x² × x³ = x⁵.

૩. શું પ્લસ અને માઈનસ પદોનો ગુણાકાર અલગ હોય છે?

હા, જો એક પદ પ્લસ અને બીજું માઈનસ હોય તો જવાબ હંમેશા માઈનસ (-) આવશે. જો બંને પદ માઈનસ હોય તો જવાબ પ્લસ (+) આવશે.

૪. નિત્યસમનો ઉપયોગ ક્યારે થાય?

જ્યારે દ્વિપદીનો દ્વિપદી સાથે ગુણાકાર કરવાનો હોય અને તે ચોક્કસ સ્વરૂપમાં (જેમ કે વર્ગના સ્વરૂપમાં) હોય ત્યારે ગણતરી ઝડપી બનાવવા નિત્યસમ વપરાય છે.

૫. શું શૂન્ય સાથેના ગુણાકારનો જવાબ બદલાઈ શકે?

ના, કોઈપણ પદાવલિનો શૂન્ય (0) સાથે ગુણાકાર હંમેશા શૂન્ય જ આવે છે.

અસ્વીકરણ (Disclaimer)

આ બ્લોગ પોસ્ટ માત્ર શૈક્ષણિક હેતુ માટે તૈયાર કરવામાં આવી છે. અહીં આપેલા ઉદાહરણો અને સમજૂતી વિદ્યાર્થીઓને ગણિતના પાયાના ખ્યાલો સ્પષ્ટ કરવામાં મદદરૂપ થાય તેવા આશયથી લખવામાં આવ્યા છે. ગણિતના નિયમોમાં કોઈ ફેરફાર કે ક્ષતિ જણાય તો તમારા વિષય શિક્ષકની સલાહ લેવી અથવા પાઠ્યપુસ્તકનો સંદર્ભ લેવો. અમે આ માહિતીની સંપૂર્ણ ચોકસાઈની ખાતરી આપવા પ્રયત્ન કર્યો છે, છતાં પણ કોઈપણ ગણતરી કરતા પહેલા નિયમોની ચકાસણી કરી લેવી.

 છે? 

📌 બધી જ મહત્વની લિંક્સ એક જ જગ્યાએ જુઓ #RajeshPatelGroupTuition #RajubhaiMaths #GujaratEducation #AhmedabadTuition #GujaratBoard #GanitToRajubhaiNuJ #SocialWorkerAndTeacher #RajeshPatel

૧. એકપદીનો એકપદી સાથે ગુણાકાર

૨. એકપદીનો દ્વિપદી સાથે ગુણાકાર

૩. દ્વિપદીનો દ્વિપદી સાથે ગુણાકાર

Post a Comment