GSEB Class 10 Maths Chapter 3 imp Notes & Quiz | Board Exam Special

🎯 Board Exam Special: Class 10 Math Chapter Chapter 3 — દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ Pair of Linear Equations in Two Variables Ultimate MCQ Test 2027

ધોરણ 10 ગણિત પ્રકરણ 3 — દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ Pair of Linear Equations in Two Variables 

 - સંપૂર્ણ ઇન્ટરેક્ટિવ ઓનલાઇન ક્વિઝ 2027

GSEB Std 10 Maths Chapter 3 Dvichal Surekh Surekh mate notes, examples, MCQ quiz ane important sums easy Hinglish ma.

🔵 ગુજરાતી માધ્યમ (Gujarati Medium) - ગણિત દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ Pair of Linear Equations in Two Variables 

🎯 આ પ્રકરણમાં આપણે શું શીખીશું?

વિદ્યાર્થી મિત્રો, બોર્ડની પરીક્ષામાં પૂરા માર્ક્સ અપાવતા આ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ Pair of Linear Equations in Two Variables  વિશે શીખીશું. 

દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ શું છે? 

દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ એટલે એવું સમીકરણ જેમાં

બે ચલ (variables) હોય

અને બંને ચલની ઘાત 1 હોય.

સામાન્ય સ્વરૂપ: ax+by+c=0

અહીં x અને y બે ચલ છે. 

ઉદાહરણ :

2x+3y=7x-4y=10 આ બંને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણોના ઉદાહરણ છે.

📘 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણોની જોડ

બે ચલવાળા બે સુરેખ સમીકરણોને સાથે લેવામાં આવે ત્યારે તેને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણોની જોડ કહેવામાં આવે છે।

સામાન્ય સ્વરૂપ :

a₁x + b₁y + c₁ = 0

અને

a₂x + b₂y + c₂ = 0

━━━━━━━━

📚 સમીકરણોની જોડના ઉકેલ માટેની શરતો

૧) એકમાત્ર ઉકેલ

✨ શરત :

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

📌 ઉકેલ :
સમીકરણોની જોડનો એકમાત્ર ઉકેલ મળે છે।

📈 આલેખ :
બંને રેખાઓ એકબીજાને એક બિંદુએ છેદે છે।

📖 સમીકરણો :
આ સમીકરણો શુસંગત કહેવાય।

🔹 ઉદાહરણ :

2x + y = 5

x − y = 1

અહીં,

2/1 ≠ 1/−1

અટલે સમીકરણોની જોડનો એકમાત્ર ઉકેલ મળે છે।

━━━━━━━━

૨) અનંત ઉકેલ

✨ શરત :

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

📌 ઉકેલ :
સમીકરણોની જોડના અનંત ઉકેલ મળે છે।

📈 આલેખ :
બંને રેખાઓ એકબીજા પર સંપાત થાય છે।

📖 સમીકરણો :
આ સમીકરણો શુસંગત કહેવાય।

🔹 ઉદાહરણ :

2x + 4y = 6

x + 2y = 3

અહીં,

2/1 = 4/2 = 6/3

અટલે અનંત ઉકેલ મળે છે।

━━━━━━━━

૩) કોઈ ઉકેલ નહિ

✨ શરત :

a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

📌 ઉકેલ :
સમીકરણોની જોડનો કોઈ ઉકેલ મળતો નથી।

📈 આલેખ :
બંને રેખાઓ સમાંતર હોય છે।

📖 સમીકરણો :
આ સમીકરણો અશુસંગત કહેવાય।

🔹 ઉદાહરણ :

2x + 4y = 6

x + 2y = 4

અહીં,

2/1 = 4/2 ≠ 6/4

અટલે કોઈ ઉકેલ મળતો નથી।

━━━━━━━━

📋 ટૂંકમાં યાદ રાખો

◆ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
➡ એકમાત્ર ઉકેલ
➡ રેખાઓ છેદે છે
➡ શુસંગત

◆ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
➡ અનંત ઉકેલ
➡ સંપાત રેખાઓ
➡ શુસંગત

◆ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
➡ કોઈ ઉકેલ નહિ
➡ સમાંતર રેખાઓ
➡ અશુસંગત

📘 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણોની જોડ ઉકેલવાની રીતો

૧) આલેખ પદ્ધતિ (Graphical Method)

આ પદ્ધતિમાં બંને સમીકરણોના આલેખ દોરીને તેમનો છેદબિંદુ શોધવામાં આવે છે।

📌 છેદબિંદુના નિર્દેશાંકો જ સમીકરણોની જોડનો ઉકેલ હોય છે।

📖 ખાસ નોંધ :

◆ જો રેખાઓ એક બિંદુએ મળે → એક ઉકેલ
◆ જો રેખાઓ સંપાત થાય → અનંત ઉકેલ
◆ જો રેખાઓ સમાંતર હોય → કોઈ ઉકેલ નહિ

૨) બીજગણિતીય પદ્ધતિ (Algebraic Methods) 

બીજગણિતીય પદ્ધતિના ત્રણ પેટા પ્રકાર છે :

(અ) અવેજી પદ્ધતિ (Substitution Method)

આ પદ્ધતિમાં :

◆ એક સમીકરણમાંથી એક ચલની કિંમત શોધવામાં આવે છે।
◆ પછી તે કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકી ઉકેલ મેળવવામાં આવે છે।

🔹 ઉદાહરણ :

x + y = 5

x − y = 1

પ્રથમ સમીકરણમાંથી :

x = 5 − y

હવે આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકીએ :

(5 − y) − y = 1

5 − 2y = 1

2y = 4

y = 2

હવે,

x = 5 − 2 = 3

📌 ઉકેલ :

x = 3 , y = 2

━━━━━━━━

(બ) નિકંદન પદ્ધતિ (Elimination Method)

આ પદ્ધતિમાં :

◆ બંને સમીકરણોમાં કોઈ એક ચલના ગુણાંક સમાન બનાવવામાં આવે છે।
◆ પછી સરવાળો અથવા બાદબાકી કરીને એક ચલ દૂર કરવામાં આવે છે।

🔹 ઉદાહરણ :

2x + y = 7

2x − y = 5

બંને સમીકરણો ઉમેરીએ :

2x + y + 2x − y = 7 + 5

4x = 12

x = 3

હવે,

2(3) + y = 7

6 + y = 7

y = 1

📌 ઉકેલ :

x = 3 , y = 1

━━━━━━━━

📋 ટૂંકમાં યાદ રાખો

◆ આલેખ પદ્ધતિ
➡ આલેખ દોરી ઉકેલ મેળવવો

◆ અવેજી પદ્ધતિ
➡ એક ચલની કિંમત મૂકી ઉકેલ મેળવવો

◆ નિકંદન પદ્ધતિ
➡ એક ચલ દૂર કરીને ઉકેલ મેળવવો

◆ ત્રાંસી પદ્ધતિ
➡ સૂત્ર વડે સીધો ઉકેલ મેળવવો

📘 આ પ્રકરણ શીખ્યા પછી તમે:

◆ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણોની જોડ ઓળખી શકશો।

◆ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણોની જોડનું સામાન્ય સ્વરૂપ લખી શકશો।

◆ સમીકરણોની જોડના ઉકેલ માટેની શરતો સમજી શકશો।

◆ સમીકરણોની જોડ શુસંગત છે કે અશુસંગત તે નક્કી કરી શકશો।

◆ સમીકરણોની જોડના ઉકેલોની સંખ્યા જાણી શકશો।

◆ આલેખ પરથી સમીકરણોની જોડનો ઉકેલ મેળવી શકશો।

◆ અવેજી પદ્ધતિ વડે સમીકરણોની જોડ ઉકેલી શકશો।

◆ નિકંદન પદ્ધતિ વડે સમીકરણોની જોડ ઉકેલી શકશો।

◆ દૈનિક જીવનની સમસ્યાઓને દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણોની જોડમાં રૂપાંતરિત કરી ઉકેલી શકશો।

📘 વધુ યાદ રાખવા જેવી અગત્યની બાબતો  ⭐ સ્કોરિંગ પોઈન્ટ્સ

◆ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણમાં બે ચલ હોય છે।

◆ બંને ચલની ઘાત 1 હોય છે।

◆ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ :

a₁x + b₁y + c₁ = 0

━━━━━━━━

📚 ઉકેલ માટેની અગત્યની શરતો

◆ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
➡ એકમાત્ર ઉકેલ
➡ રેખાઓ એક બિંદુએ છેદે છે
➡ સમીકરણો શુસંગત

━━━━━━━━

◆ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
➡ અનંત ઉકેલ
➡ રેખાઓ સંપાત થાય છે
➡ સમીકરણો શુસંગત

━━━━━━━━

◆ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
➡ કોઈ ઉકેલ નહિ
➡ રેખાઓ સમાંતર હોય છે
➡ સમીકરણો અશુસંગત

━━━━━━━━

📖 ઉકેલ મેળવવાની રીતો

◆ આલેખ પદ્ધતિ
◆ અવેજી પદ્ધતિ
◆ નિકંદન પદ્ધતિ
━━━━━━━━

✨ ખાસ યાદ રાખો

◆ આલેખમાં બંને રેખાઓનો છેદબિંદુ જ ઉકેલ હોય છે।

◆ અવેજી પદ્ધતિમાં એક ચલની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકી ઉકેલ મેળવાય છે।

◆ નિકંદન પદ્ધતિમાં એક ચલ દૂર કરવામાં આવે છે।

━━━━━━━━

🎯 પરીક્ષામાં વારંવાર પૂછાતા મુદ્દા

◆ સમીકરણોની જોડ શુસંગત છે કે અશુસંગત?

◆ ઉકેલોની સંખ્યા શોધો।

◆ આલેખ પરથી ઉકેલ શોધો।

◆ કઈ પદ્ધતિથી ઉકેલ સરળ બને તે ઓળખો।

◆ શબ્દપ્રશ્નોને સમીકરણમાં ફેરવો।

━━━━━━━━

📝 ઝડપી પુનરાવર્તન

✔ છેદતી રેખાઓ → એક ઉકેલ

✔ સંપાત રેખાઓ → અનંત ઉકેલ

✔ સમાંતર રેખાઓ → કોઈ ઉકેલ નહિ

✔ શુસંગત → ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ

✔ અશુસંગત → કોઈ ઉકેલ નહિ

📘 અવેજી પદ્ધતિ (Substitution Method)

આ પદ્ધતિમાં :

◆ એક સમીકરણમાંથી એક ચલની કિંમત શોધવામાં આવે છે।
◆ પછી તે કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકવામાં આવે છે।
◆ ત્યારબાદ બીજા ચલની કિંમત મળે છે।
◆ અંતે બંને ચલની કિંમતો મેળવી ઉકેલ મળે છે।

📘 અવેજી પદ્ધતિ (Substitution Method)

આ પદ્ધતિમાં :

◆ એક સમીકરણમાંથી એક ચલની કિંમત શોધવામાં આવે છે।
◆ પછી તે કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકવામાં આવે છે।
◆ ત્યારબાદ બીજા ચલની કિંમત મળે છે।
◆ અંતે બંને ચલની કિંમતો મેળવી ઉકેલ મળે છે।

📚 દાખલો – ૧

નીચેની સમીકરણોની જોડ અવેજી પદ્ધતિ વડે ઉકેલો :

x + y = 5

x − y = 1

✏️ ઉકેલ :

પ્રથમ સમીકરણમાંથી :

x + y = 5

x = 5 − y .......... (1)

હવે x ની આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકીએ :

x − y = 1

(5 − y) − y = 1

5 − 2y = 1

5 − 5 − 2y = 1 − 5

−2y = −4

y = 2

હવે y = 2 ને સમીકરણ (1) માં મૂકીએ :

x = 5 − 2

x = 3

📌 તેથી,

x = 3 , y = 2

📚 દાખલો – ૨

નીચેની સમીકરણોની જોડ અવેજી પદ્ધતિ વડે ઉકેલો :

2x + y = 7

x + y = 4

✏️ ઉકેલ :

બીજા સમીકરણમાંથી :

x + y = 4

y = 4 − x .......... (1)

હવે y ની આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકીએ :

2x + y = 7

2x + (4 − x) = 7

2x + 4 − x = 7

x + 4 = 7

x = 3

હવે x = 3 ને સમીકરણ (1) માં મૂકીએ :

y = 4 − 3

y = 1

📌 તેથી,

x = 3 , y = 1

📚 દાખલો – ૩

નીચેની સમીકરણોની જોડ અવેજી પદ્ધતિ વડે ઉકેલો :

3x + y = 11

x − y = 1

✏️ ઉકેલ :

બીજા સમીકરણમાંથી :

x − y = 1

x = y + 1 .......... (1)

હવે x ની આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકીએ :

3x + y = 11

3(y + 1) + y = 11

3y + 3 + y = 11

4y + 3 = 11

4y = 11 − 3

4y = 8

y = 2

હવે y = 2 ને સમીકરણ (1) માં મૂકીએ :

x = 2 + 1

x = 3

📌 તેથી,

x = 3 , y = 2

📋 યાદ રાખો

◆ અવેજી પદ્ધતિમાં એક ચલની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકવામાં આવે છે।

◆ જે ચલ સરળતાથી મળે તે પહેલા શોધવો।

◆ અંતે બંને કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં ચકાસવી।

📘 નિકંદન પદ્ધતિ (Elimination Method)

આ પદ્ધતિમાં :

◆ બંને સમીકરણોમાં કોઈ એક ચલના ગુણાંક સમાન બનાવવામાં આવે છે।

◆ પછી સરવાળો અથવા બાદબાકી કરીને એક ચલ દૂર કરવામાં આવે છે।

◆ ત્યારબાદ બીજા ચલની કિંમત મેળવી અંતે બંને ચલની કિંમતો શોધવામાં આવે છે। 

📚 દાખલો – ૧

નીચેની સમીકરણોની જોડ નિકંદન પદ્ધતિ વડે ઉકેલો :

2x + y = 7

2x − y = 5 

✏️ ઉકેલ :

આપેલ સમીકરણો :

2x + y = 7 .......... (1)

2x − y = 5 .......... (2)

હવે (1) અને (2) નો સરવાળો કરીએ :

2x + y + 2x − y = 7 + 5

4x = 12

x = 3

હવે x = 3 ને સમીકરણ (1) માં મૂકીએ :

2(3) + y = 7

6 + y = 7

y = 1

📌 તેથી,

x = 3 , y = 1

📚 દાખલો – ૨

નીચેની સમીકરણોની જોડ નિકંદન પદ્ધતિ વડે ઉકેલો :

x + y = 5

x − y = 1

✏️ ઉકેલ :

આપેલ સમીકરણો :

x + y = 5 .......... (1)

x − y = 1 .......... (2)

હવે (1) અને (2) નો સરવાળો કરીએ :

x + y + x − y = 5 + 1

2x = 6

x = 3

હવે x = 3 ને સમીકરણ (1) માં મૂકીએ :

3 + y = 5

y = 2

📌 તેથી,

x = 3 , y = 2 

📚 દાખલો – ૩

નીચેની સમીકરણોની જોડ નિકંદન પદ્ધતિ વડે ઉકેલો :

2x + 3y = 13

2x − y = 5

✏️ ઉકેલ :

આપેલ સમીકરણો :

2x + 3y = 13 .......... (1)

2x − y = 5 .......... (2)

હવે (1) માંથી (2) બાદ કરીએ :

2x + 3y − (2x − y) = 13 − 5

2x + 3y − 2x + y = 8

4y = 8

y = 2

હવે y = 2 ને સમીકરણ (2) માં મૂકીએ :

2x − 2 = 5

2x = 7

x = 7/2

📌 તેથી,

x = 7/2 , y = 2 

📋 યાદ રાખો

◆ નિકંદન પદ્ધતિમાં એક ચલ દૂર કરવામાં આવે છે।

◆ સરવાળો અથવા બાદબાકી બંને રીત ઉપયોગી છે।

◆ સમાન ગુણાંક હોય તો ઉકેલ ઝડપથી મળે છે।

📘 શાબ્દિક પ્રશ્નોમાંથી સમીકરણ કેવી રીતે બનાવવું ?

શાબ્દિક પ્રશ્નોમાં :

◆ અજ્ઞાત રાશિને x, y વગેરે ધારી લેવામાં આવે છે।
◆ પ્રશ્નમાં આપેલી માહિતી મુજબ સંબંધ લખવામાં આવે છે।
◆ ત્યારબાદ સમીકરણ બનાવવામાં આવે છે।

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૧ : બે સંખ્યાઓનો સરવાળો

બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 20 છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

પ્રથમ સંખ્યા = x

બીજી સંખ્યા = y

પ્રશ્ન મુજબ :

x + y = 20

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૨ : તફાવત

બે સંખ્યાઓનો તફાવત 8 છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

પ્રથમ સંખ્યા = x

બીજી સંખ્યા = y

પ્રશ્ન મુજબ :

x − y = 8

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૩ : ઉમરનો પ્રશ્ન

પિતાની ઉમર પુત્રની ઉમર કરતાં 25 વર્ષ વધુ છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

પુત્રની ઉમર = x વર્ષ

પિતાની ઉમર = y વર્ષ

પ્રશ્ન મુજબ :

y = x + 25

અથવા

y − x = 25

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૪ : પૈસાનો પ્રશ્ન

રમેશ પાસે સુરેશ કરતાં 50 રૂપિયા વધુ છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

સુરેશ પાસે રૂપિયા = x

રમેશ પાસે રૂપિયા = y

પ્રશ્ન મુજબ :

y = x + 50

અથવા

y − x = 50

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૫ : સંખ્યાનો બમણો

એક સંખ્યાનો બમણો 18 થાય છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

સંખ્યા = x

પ્રશ્ન મુજબ :

2x = 18

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૬ : લંબચોરસનો પરિમાપ

એક લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈનો સરવાળો 15 સે.મી. છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

લંબાઈ = x સે.મી.

પહોળાઈ = y સે.મી.

પ્રશ્ન મુજબ :

x + y = 15

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૭ : માર્ક્સનો પ્રશ્ન

ગણિત અને વિજ્ઞાનના ગુણોનો સરવાળો 140 છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

ગણિતના ગુણ = x

વિજ્ઞાનના ગુણ = y

પ્રશ્ન મુજબ :

x + y = 140

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૮ : ગતિનો પ્રશ્ન

એક કારની ગતિ બીજી કાર કરતાં 20 કિમી/કલાક વધુ છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

પ્રથમ કારની ગતિ = x

બીજી કારની ગતિ = y

પ્રશ્ન મુજબ :

x = y + 20

અથવા

x − y = 20

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૯ : કુલ વસ્તુઓ

એક થેલીમાં સફરજન અને કેરી મળીને 30 છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

સફરજનની સંખ્યા = x

કેરીની સંખ્યા = y

પ્રશ્ન મુજબ :

x + y = 30

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૧૦ : ખર્ચનો પ્રશ્ન

પેન અને પેન્સિલની કુલ કિંમત 45 રૂપિયા છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

પેનની કિંમત = x રૂપિયા

પેન્સિલની કિંમત = y રૂપિયા

પ્રશ્ન મુજબ :

x + y = 45

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૧૧ : કુલ વિદ્યાર્થીઓ

એક વર્ગમાં છોકરાઓ અને છોકરીઓ મળીને 60 વિદ્યાર્થીઓ છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

છોકરાઓની સંખ્યા = x

છોકરીઓની સંખ્યા = y

પ્રશ્ન મુજબ :

x + y = 60

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૧૨ : ઉંમરનો તફાવત

રીનાની ઉંમર મીનાની ઉંમર કરતાં 4 વર્ષ ઓછી છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

મીનાની ઉંમર = x વર્ષ

રીનાની ઉંમર = y વર્ષ

પ્રશ્ન મુજબ :

y = x − 4

અથવા

x − y = 4

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૧૩ : કુલ કિંમત

5 નોટબુક અને 3 પેનની કુલ કિંમત 120 રૂપિયા છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

એક નોટબુકની કિંમત = x રૂપિયા

એક પેનની કિંમત = y રૂપિયા

પ્રશ્ન મુજબ :

5x + 3y = 120

━━━━━━━━

📚 દાખલો – ૧૪ : અંતરનો પ્રશ્ન

બે શહેરો વચ્ચેનું કુલ અંતર 350 કિમી છે।
એક ભાગ x કિમી અને બીજો ભાગ y કિમી છે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

પ્રથમ ભાગ = x કિમી

બીજો ભાગ = y કિમી

પ્રશ્ન મુજબ :

x + y = 350

━━━━━━━━

📚 દાખલો – 15 : 5 વર્ષ પહેલા

રમેશની હાલની ઉંમર તેના ભાઈની હાલની ઉંમર કરતાં 6 વર્ષ વધુ છે।
5 વર્ષ પહેલા બંને ઉંમરોનો સરવાળો 25 વર્ષ હતો।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

ભાઈની હાલની ઉંમર = x વર્ષ

રમેશની હાલની ઉંમર = y વર્ષ

પ્રશ્ન મુજબ :

y − x = 6

5 વર્ષ પહેલા :

ભાઈની ઉંમર = x − 5

રમેશની ઉંમર = y − 5

બંનેનો સરવાળો 25 હતો :

(x − 5) + (y − 5) = 25

અથવા

x + y − 10 = 25

━━━━━━━━

📚 દાખલો – 16 : 7 વર્ષ પછી

એક પિતાની હાલની ઉંમર તેના પુત્રની હાલની ઉંમર કરતાં 30 વર્ષ વધુ છે।
7 વર્ષ પછી બંને ઉંમરોનો સરવાળો 70 વર્ષ થશે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

પુત્રની હાલની ઉંમર = x વર્ષ

પિતાની હાલની ઉંમર = y વર્ષ

પ્રશ્ન મુજબ :

y − x = 30

7 વર્ષ પછી :

પુત્રની ઉંમર = x + 7

પિતાની ઉંમર = y + 7

બંનેનો સરવાળો 70 થશે :

(x + 7) + (y + 7) = 70

અથવા

x + y + 14 = 70

━━━━━━━━

📚 દાખલો – 17 : 5 વર્ષ પહેલા તફાવત

બે મિત્રોની હાલની ઉંમરોનો સરવાળો 40 વર્ષ છે।
5 વર્ષ પહેલા તેમની ઉંમરોમાં 8 વર્ષનો તફાવત હતો।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

પ્રથમ મિત્રની હાલની ઉંમર = x વર્ષ

બીજા મિત્રની હાલની ઉંમર = y વર્ષ

પ્રશ્ન મુજબ :

x + y = 40

5 વર્ષ પહેલા :

પ્રથમ મિત્રની ઉંમર = x − 5

બીજા મિત્રની ઉંમર = y − 5

તફાવત 8 હતો :

(x − 5) − (y − 5) = 8

અથવા

x − y = 8

━━━━━━━━

📚 દાખલો – 18 : 7 વર્ષ પછી તફાવત

રીના અને મીનાની હાલની ઉંમરોમાં 4 વર્ષનો તફાવત છે।
7 વર્ષ પછી બંને ઉંમરોનો સરવાળો 50 વર્ષ થશે।

✏️ સમીકરણ બનાવો :

રીનાની હાલની ઉંમર = x વર્ષ

મીનાની હાલની ઉંમર = y વર્ષ

પ્રશ્ન મુજબ :

x − y = 4

7 વર્ષ પછી :

રીનાની ઉંમર = x + 7

મીનાની ઉંમર = y + 7

સરવાળો 50 થશે :

(x + 7) + (y + 7) = 50

અથવા

x + y + 14 = 50

━━━━━━━━

📋 ખાસ યાદ રાખો

◆ “5 વર્ષ પહેલા”
➡ ઉંમરમાંથી 5 બાદ કરો।

ઉદાહરણ :

x − 5

━━━━━━━━

◆ “7 વર્ષ પછી”
➡ ઉંમરમાં 7 ઉમેરો।

ઉદાહરણ :

x + 7

━━━━━━━━

📋 વધુ યાદ રાખો

◆ “કુલ”, “મળીને”, “સરવાળો”
➡ + ચિહ્ન વાપરો।

◆ “વધુ”, “ઓછું”, “તફાવત”
➡ − ચિહ્ન વાપરો।

◆ “બમણું”
➡ 2x

◆ “ત્રિગણું”
➡ 3x

◆ “કુલ કિંમત”

➡ વસ્તુઓની સંખ્યા × કિંમત લખવી।

◆ અજ્ઞાત રાશિને પહેલા x, y તરીકે ધારો।

◆ પ્રશ્નમાં આપેલા સંબંધ પરથી સમીકરણ બનાવો।

🔵 English Medium – Mathematics 

🎯 What Will We Learn in This Chapter?

📘 What is a Linear Equation in Two Variables?

A linear equation in two variables is an equation :

◆ which contains two variables

◆ and the power of each variable is 1.

General form :

ax + by + c = 0

Here, x and y are two variables.

Examples :

2x + 3y = 7

x − 4y = 10

Both are examples of linear equations in two variables.

━━━━━━━━

📘 Pair of Linear Equations in Two Variables

When two linear equations having two variables are taken together, they are called a pair of linear equations in two variables.

General form :

a₁x + b₁y + c₁ = 0

and

a₂x + b₂y + c₂ = 0

━━━━━━━━

📚 Conditions for Solutions of a Pair of Equations

1) Unique Solution

✨ Condition :

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

📌 Solution :
The pair of equations has one unique solution.

📈 Graph :
Both lines intersect at one point.

📖 Equations :
Such equations are called consistent.

🔹 Example :

2x + y = 5

x − y = 1

Here,

2/1 ≠ 1/−1

Therefore, the pair has a unique solution.

━━━━━━━━

2) Infinite Solutions

✨ Condition :

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

📌 Solution :
The pair of equations has infinitely many solutions.

📈 Graph :
Both lines coincide with each other.

📖 Equations :
Such equations are called consistent.

🔹 Example :

2x + 4y = 6

x + 2y = 3

Here,

2/1 = 4/2 = 6/3

Therefore, the pair has infinitely many solutions.

━━━━━━━━

3) No Solution

✨ Condition :

a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

📌 Solution :
The pair of equations has no solution.

📈 Graph :
Both lines are parallel.

📖 Equations :
Such equations are called inconsistent.

🔹 Example :

2x + 4y = 6

x + 2y = 4

Here,

2/1 = 4/2 ≠ 6/4

Therefore, the pair has no solution.

━━━━━━━━

📋 Quick Revision

◆ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
➡ Unique solution
➡ Intersecting lines
➡ Consistent equations

◆ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
➡ Infinite solutions
➡ Coincident lines
➡ Consistent equations

◆ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
➡ No solution
➡ Parallel lines
➡ Inconsistent equations

━━━━━━━━

📘 Methods to Solve Pair of Linear Equations

The following methods are mainly used :

◆ Graphical Method
◆ Substitution Method
◆ Elimination Method
◆ Cross Multiplication Method

━━━━━━━━

📘 Graphical Method

In this method, graphs of both equations are drawn and the point of intersection is found.

📌 The coordinates of the intersection point give the solution.

📖 Important :

◆ Intersecting lines → One solution
◆ Coincident lines → Infinite solutions
◆ Parallel lines → No solution

━━━━━━━━

📘 Substitution Method

In this method :

◆ One variable is expressed in terms of another variable.

◆ Its value is substituted into the second equation.

◆ Then the value of the second variable is obtained.

◆ Finally both variable values are found.

━━━━━━━━

📚 Example – 1

Solve by substitution method :

x + y = 5

x − y = 1

✏️ Solution :

From the first equation :

x + y = 5

x = 5 − y .......... (1)

Substitute this value in the second equation :

x − y = 1

(5 − y) − y = 1

5 − 2y = 1

−2y = −4

y = 2

Put y = 2 in equation (1) :

x = 5 − 2

x = 3

📌 Therefore,

x = 3 , y = 2

━━━━━━━━

📚 Example – 2

Solve by substitution method :

2x + y = 7

x + y = 4

✏️ Solution :

From the second equation :

x + y = 4

y = 4 − x .......... (1)

Substitute this value in the first equation :

2x + (4 − x) = 7

x + 4 = 7

x = 3

Put x = 3 in equation (1) :

y = 4 − 3

y = 1

📌 Therefore,

x = 3 , y = 1

━━━━━━━━

📚 Example – 3

Solve by substitution method :

3x + y = 11

x − y = 1

✏️ Solution :

From the second equation :

x − y = 1

x = y + 1 .......... (1)

Substitute in the first equation :

3(y + 1) + y = 11

4y + 3 = 11

4y = 8

y = 2

Put y = 2 in equation (1) :

x = 2 + 1

x = 3

📌 Therefore,

x = 3 , y = 2

━━━━━━━━

📘 Elimination Method

In this method :

◆ Coefficients of one variable are made equal.

◆ Then one variable is eliminated by addition or subtraction.

◆ Finally the values of both variables are found.

━━━━━━━━

📚 Example – 1

Solve by elimination method :

2x + y = 7

2x − y = 5

✏️ Solution :

2x + y = 7 .......... (1)

2x − y = 5 .......... (2)

Add (1) and (2) :

4x = 12

x = 3

Substitute x = 3 in (1) :

6 + y = 7

y = 1

📌 Therefore,

x = 3 , y = 1

━━━━━━━━

📚 Example – 2

Solve by elimination method :

x + y = 5

x − y = 1

✏️ Solution :

x + y = 5 .......... (1)

x − y = 1 .......... (2)

Add (1) and (2) :

2x = 6

x = 3

Substitute x = 3 in (1) :

3 + y = 5

y = 2

📌 Therefore,

x = 3 , y = 2

━━━━━━━━

📚 Example – 3

Solve by elimination method :

2x + 3y = 13

2x − y = 5

✏️ Solution :

2x + 3y = 13 .......... (1)

2x − y = 5 .......... (2)

Subtract (2) from (1) :

4y = 8

y = 2

Substitute y = 2 in (2) :

2x − 2 = 5

2x = 7

x = 7/2

📌 Therefore,

x = 7/2 , y = 2

━━━━━━━━

📘 Important Scoring Points

◆ A linear equation in two variables contains two variables.

◆ Power of each variable is 1.

◆ General form :

a₁x + b₁y + c₁ = 0

━━━━━━━━

🎯 Frequently Asked Exam Points

◆ Check whether equations are consistent or inconsistent.

◆ Find number of solutions.

◆ Solve graphically.

◆ Select suitable method for solving.

◆ Convert word problems into equations.

━━━━━━━━

📘 How to Form Equations from Word Problems

In word problems :

◆ Assume unknown quantities as x and y.

◆ Write relations according to the given information.

◆ Then form equations.

━━━━━━━━

📚 Example – 1 : Sum of Two Numbers

The sum of two numbers is 20.

✏️ Form the equation :

First number = x

Second number = y

According to the question :

x + y = 20

━━━━━━━━

📚 Example – 2 : Difference

The difference between two numbers is 8.

✏️ Form the equation :

x − y = 8

━━━━━━━━

📚 Example – 3 : Age Problem

Father’s age is 25 years more than son’s age.

✏️ Form the equation :

y = x + 25

or

y − x = 25

━━━━━━━━

📚 Example – 4 : Money Problem

Ramesh has 50 rupees more than Suresh.

✏️ Form the equation :

y = x + 50

or

y − x = 50

━━━━━━━━

📚 Example – 5 : Double of a Number

Twice a number is 18.

✏️ Equation :

2x = 18

━━━━━━━━

📚 Example – 6 : Perimeter Problem

The sum of length and breadth of a rectangle is 15 cm.

✏️ Equation :

x + y = 15

━━━━━━━━

📚 Example – 7 : Marks Problem

The sum of marks in Maths and Science is 140.

✏️ Equation :

x + y = 140

━━━━━━━━

📚 Example – 8 : Speed Problem

One car moves 20 km/h faster than another.

✏️ Equation :

x − y = 20

━━━━━━━━

📚 Example – 9 : Total Fruits

A bag contains 30 apples and mangoes together.

✏️ Equation :

x + y = 30

━━━━━━━━

📚 Example – 10 : Cost Problem

Total cost of a pen and pencil is 45 rupees.

✏️ Equation :

x + y = 45

━━━━━━━━

📚 Example – 11 : Students

Total number of boys and girls in a class is 60.

✏️ Equation :

x + y = 60

━━━━━━━━

📚 Example – 12 : Age Difference

Reena is 4 years younger than Meena.

✏️ Equation :

x − y = 4

━━━━━━━━

📚 Example – 13 : Total Cost

Cost of 5 notebooks and 3 pens is 120 rupees.

✏️ Equation :

5x + 3y = 120

━━━━━━━━

📚 Example – 14 : Distance Problem

Total distance between two cities is 350 km.

✏️ Equation :

x + y = 350

━━━━━━━━

📚 Example – 15 : 5 Years Ago

Ramesh is 6 years older than his brother.

5 years ago, sum of their ages was 25 years.

✏️ Equations :

y − x = 6

(x − 5) + (y − 5) = 25

or

x + y − 10 = 25

━━━━━━━━

📚 Example – 16 : 7 Years Later

A father is 30 years older than his son.

After 7 years, sum of their ages will be 70 years.

✏️ Equations :

y − x = 30

(x + 7) + (y + 7) = 70

or

x + y + 14 = 70

━━━━━━━━

📚 Example – 17 : Difference 5 Years Ago

Sum of present ages of two friends is 40 years.

5 years ago, difference of their ages was 8 years.

✏️ Equations :

x + y = 40

(x − 5) − (y − 5) = 8

or

x − y = 8

━━━━━━━━

📚 Example – 18 : 7 Years Later Difference

Difference between present ages of Reena and Meena is 4 years.

After 7 years, sum of their ages will be 50 years.

✏️ Equations :

x − y = 4

(x + 7) + (y + 7) = 50

or

x + y + 14 = 50

━━━━━━━━

📋 Important to Remember

◆ “Sum”, “Together”, “Total”
➡ Use + sign

◆ “More”, “Less”, “Difference”
➡ Use − sign

◆ “Double”
➡ 2x

◆ “Triple”
➡ 3x

◆ “5 years ago”
➡ x − 5

◆ “7 years later”
➡ x + 7

◆ First assume unknown quantities as x and y.

◆ Form equations according to the given relation.

નિષ્કર્ષ (Conclusion):

  વિદ્યાર્થી મિત્રો, આશા છે કે આ ઇન્ટરેક્ટિવ ઓનલાઇન ટેસ્ટ દ્વારા તમને સંભાવના (Probability) પ્રકરણના મહત્વના ખરાં-ખોટાં સમજવામાં અને રિવિઝન કરવામાં ઘણી મદદ મળી હશે. યાદ રાખવા જેવી બાબતો: સંભાવના એ ગણિતનું સૌથી સરળ અને રોકડિયા માર્ક્સ અપાવતું પ્રકરણ છે. બોર્ડની પરીક્ષામાં સમય બચાવવા માટે આવા ટૂંકા પ્રશ્નોની પ્રેક્ટિસ ખૂબ જરૂરી છે. જો કોઈ પ્રશ્નમાં ભૂલ પડી હોય, તો ગભરાશો નહીં, ફરીથી ટેસ્ટ આપીને તમારું જ્ઞાન પાકું કરો.

📢 નવી અપડેટ ટૂંક સમયમાં!

✨ નવીનતમ અપડેટ્સ મેળવવા માટે આ વેબસાઇટની ફરીથી મુલાકાત લેતા રહો!

— રાજેશ પટેલ ગ્રુપ ટ્યુશન @9173040050

નિષ્કર્ષ (Conclusion):

  વિદ્યાર્થી મિત્રો, આશા છે કે આ ઇન્ટરેક્ટિવ ઓનલાઇન ટેસ્ટ દ્વારા તમને સંભાવના (Probability) પ્રકરણના મહત્વના ખરાં-ખોટાં સમજવામાં અને રિવિઝન કરવામાં ઘણી મદદ મળી હશે. યાદ રાખવા જેવી બાબતો: સંભાવના એ ગણિતનું સૌથી સરળ અને રોકડિયા માર્ક્સ અપાવતું પ્રકરણ છે. બોર્ડની પરીક્ષામાં સમય બચાવવા માટે આવા ટૂંકા પ્રશ્નોની પ્રેક્ટિસ ખૂબ જરૂરી છે. જો કોઈ પ્રશ્નમાં ભૂલ પડી હોય, તો ગભરાશો નહીં, ફરીથી ટેસ્ટ આપીને તમારું જ્ઞાન પાકું કરો.

⚠️ ડિસ્ક્લેમર (Disclaimer):

• આ બ્લોગ પોસ્ટમાં આપવામાં આવેલી તમામ વિગતો અને ક્વિઝ માત્ર વિદ્યાર્થીઓના શૈક્ષણિક હેતુ અને પ્રેક્ટિસ માટે તૈયાર કરવામાં આવી છે.
• અમે માહિતીની ચોકસાઈ જાળવવાનો પૂરો પ્રયત્ન કર્યો છે, છતાં કોઈપણ માનવીય ભૂલ હોઈ શકે છે. વિદ્યાર્થીઓને વિનંતી કે સત્તાવાર પાઠ્યપુસ્તક સાથે પણ વિગતો ચકાસી લેવી.
• આ ક્વિઝના પ્રશ્નો રાજેશ પટેલ ગ્રુપ ટ્યુશન દ્વારા બોર્ડની પરીક્ષાની પદ્ધતિ મુજબ તૈયાર કરેલા છે.
• આ કન્ટેન્ટનો ઉપયોગ શૈક્ષણિક હેતુ માટે કરી શકાય છે.

- iCanHow Team

🛡️ પ્રાઇવસી પોલિસી (Privacy Policy)

અમે તમારા ડેટાની સુરક્ષાને મહત્વ આપીએ છીએ. iCanHow બ્લોગ પર તમારી પ્રાઇવસી બાબતે નીચેની બાબતો ધ્યાનમાં લેવી:

• ડેટા કલેક્શન: આ બ્લોગ પરની ઇન્ટરેક્ટિવ ટેસ્ટના પરિણામો માત્ર તમારા બ્રાઉઝરમાં જ દેખાય છે. અમે કોઈ પણ વિદ્યાર્થીની વ્યક્તિગત વિગતો સર્વર પર સંગ્રહિત કરતા નથી.
• કુકીઝ (Cookies): ગૂગલ બ્લોગર (Blogger) હોવાથી, યુઝરના અનુભવને સુધારવા માટે ગૂગલ દ્વારા કુકીઝનો ઉપયોગ કરવામાં આવી શકે છે.
• બાહ્ય લિંક્સ: આ બ્લોગમાં રાજેશ પટેલ ગ્રુપ ટ્યુશન ના વોટ્સએપ ગ્રુપ કે અન્ય શૈક્ષણિક વેબસાઇટ્સની લિંક્સ હોઈ શકે છે. તે વેબસાઇટ્સની પોલિસી અલગ હોઈ શકે છે જેની અમે ખાતરી આપતા નથી.
• વિદ્યાર્થીઓની સુરક્ષા: આ પ્લેટફોર્મ મુખ્યત્વે ધોરણ 10 ના વિદ્યાર્થીઓ માટે છે, તેથી અમે સુરક્ષિત અને શૈક્ષણિક વાતાવરણ જાળવવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ.
• સંપર્ક: જો તમને પ્રાઇવસી બાબતે કોઈ પ્રશ્ન હોય, તો તમે અમારો સંપર્ક કરી શકો છો.

તમારો વિશ્વાસ એ અમારી પ્રાથમિકતા છે. 🙏

🎯 Board Exam Special: Ultimate MCQ Test for ગુજરાતી માધ્યમ and English Medium 2027

ધોરણ 10: સંપૂર્ણ ઇન્ટરેક્ટિવ ઓનલાઇન ક્વિઝ 2027

⏳ 09:00

🎯 Mission Board 2027 maths 

CHAPTER 2

Rajesh Patel Group Tuition

---

૧. સ્ટુડન્ટ આઈડી (Student ID)

(નોંધ: તમારા સ્ટુડન્ટ આઈડી (Student ID) જ ID તરીકે ઉપયોગ કરો)

(જેમની પાસે Student Id નથી તેઓ 43210 લખીને ક્વિઝ આપી શકે છે.)

⏳ ડેટાબેઝ ચેક થઈ રહ્યો છે...

❌ તમારો સ્ટુડન્ટ આઈડી (Student ID) રજિસ્ટર નથી!

૨. વિગતો ભરો

ગુજરાતી માધ્યમ English Medium Maths

ભાગ ૧: ખરાં-ખોટાં

ભાગ ૨: ખરાં-ખોટાં

ભાગ ૩: MCQ

ભાગ ૪: મેગા ટેસ્ટ

🎉 ક્વિઝ પૂર્ણ! ✅

તમારું રિઝલ્ટ નીચે મુજબ છે:

ભાગ ૧ (ખરાં-ખોટાં): 0 / 20

ભાગ ૨ (ખરાં-ખોટાં): 0 / 20

ભાગ ૩ (MCQ): 0 / 20

ભાગ ૪ (મેગા ટેસ્ટ): 0 / 20

કુલ સ્કોર: 0 / 0

અપડેટ મેળવવા માટે અમારા ગ્રુપમાં જોડાવો:

📢 વોટ્સએપ ગ્રુપમાં જોડાવા અહીં ક્લિક કરો

વધુ માહિતી માટે મુલાકાત લો: I Can How 🔥 All Important Links 📘 Basic funda of Maths in Gujarati 🧮 Std 10 Maths Mock Test for both medium 🔬 Std 10 Science Mock Test for both medium 🌍 Std 10 Social Science Quiz for both medium Basic English Speaking Learning Course